Standardafvigelsen eller standardafvigelsen er et mål, der giver information om den gennemsnitlige spredning af en variabel. Standardafvigelsen er altid større end eller lig med nul.
For at forstå dette koncept er vi nødt til at analysere to grundlæggende begreber.
- Matematisk forventning, forventet værdi eller gennemsnit: Det er middelværdien af vores dataserier.
- Afvigelse: Afvigelsen er den adskillelse, der findes mellem enhver værdi i serien og middelværdien.
Nu, når vi forstår disse to begreber, beregnes standardafvigelsen på samme måde som gennemsnittet. Men at tage afvigelser som værdier. Og selvom denne begrundelse er intuitiv og logisk, har den en fejl, som vi vil kontrollere med følgende graf.
I det foregående billede har vi 6 observationer, det vil sige N = 6. Gennemsnittet af observationerne er repræsenteret af den sorte linje placeret i midten af grafen og er 3. Vi vil forstå ved afvigelse den forskel, der findes mellem enhver af observationer og den sorte linje. Så vi har 6 afvigelser.
- Afvigelse -> (2-3) = -1
- Afvigelse -> (4-3) = 1
- Afvigelse -> (2-3) = -1
- Afvigelse -> (4-3) = 1
- Afvigelse -> (2-3) = -1
- Afvigelse -> (4-3) = 1
Som vi kan se, om vi tilføjer de 6 afvigelser og deler med N (6 observationer), er resultatet nul. Logikken ville være, at middelafvigelsen var 1. Men et matematisk kendetegn for middelværdien i forhold til de værdier, der udgør det, er netop, at summen af afvigelserne er nul. Hvordan løser vi dette? Kvadratere afvigelserne
RangFormler til beregning af standardafvigelsen
Den første er ved at kvadrere afvigelserne, dividere med det samlede antal observationer og til sidst tage kvadratroden for at fortryde den kvadrerede, således at:
Alternativt ville der være en anden måde at beregne det på. Det ville være et gennemsnit af summen af de absolutte værdier for afvigelserne. Det vil sige anvende følgende formel:
Denne formel er dog ikke et alternativ til standardafvigelsen, da den giver forskellige resultater. Faktisk er ovenstående formel afvigelsen fra middelværdien. Standard- eller standardafvigelsen og afvigelsen fra gennemsnittet har ligheder, men er ikke de samme. Denne sidste form er kendt som middelafvigelse.
Eksempel på beregning af standardafvigelse
Vi skal kontrollere, hvordan resultatet af standardafvigelsen eller middelafvigelsen er den samme med en af de to præsenterede formler.
I henhold til variansformlen (kvadratroden):
Ifølge den absolutte formel:
Ligesom den intuitive beregning dikterede. Den gennemsnitlige afvigelse er 1. Men sagde vi ikke, at formlen for den absolutte værdi og standardafvigelsen gav forskellige værdier? Ja, men der er en undtagelse. Det eneste tilfælde, hvor standardafvigelsen og afvigelsen fra gennemsnittet giver det samme resultat, er det tilfælde, hvor alle afvigelser er lig med 1.
Forholdet mellem standardafvigelsen og variansen
Kort sagt, variansen er intet andet end standardafvigelsen i kvadrat. Eller hvad der kommer til den samme ting, standardafvigelsen er kvadratroden af variansen. De er beslægtede som følger:
Efter dette billede er det klart, at hele formlen inden for kvadratroden er variansen. Årsagen til, at du skal forstå, at denne del er kendt som variansen, er, at den bruges i andre formler til at beregne andre mål. Så selvom standardafvigelsen er mere intuitiv til at fortolke resultater, er det bydende nødvendigt, hvordan variansen beregnes.