Normalfordelingen er en teoretisk model, der er i stand til tilfredsstillende at tilnærme værdien af en tilfældig variabel til en ideel situation.
Med andre ord passer normalfordelingen til en tilfældig variabel til en funktion, der afhænger af middelværdien og standardafvigelsen. Det vil sige, at funktionen og den tilfældige variabel har samme repræsentation, men med små forskelle.
En kontinuerlig tilfældig variabel kan tage ethvert reelt tal. F.eks. Er aktieafkast, testresultater, IQ og standardfejl kontinuerlige tilfældige variabler.
En diskret tilfældig variabel tager naturlige værdier. For eksempel antallet af studerende på et universitet.
Den normale fordeling er grundlaget for andre distributioner såsom Students t-distribution, chi-kvadratfordeling, Fishers F-distribution og andre distributioner.
Formel for normalfordeling
Ved en tilfældig variabel X siger vi, at frekvensen af dens observationer kan tilnærmes tilfredsstillende til en normalfordeling, således at:
Hvor fordelingsparametrene er middelværdien eller den centrale værdi og standardafvigelsen:
Med andre ord siger vi, at frekvensen af en tilfældig variabel X kan repræsenteres af en normalfordeling.
Repræsentation
Sandsynlighedsdensitetsfunktion for en tilfældig variabel, der følger en normalfordeling.
Ejendomme
- Det er en symmetrisk fordeling. Værdien af middelværdien, medianen og tilstanden falder sammen. Matematisk,
Middel = median = tilstand
- Unimodal fordeling. De værdier, der er hyppigere eller som er mere tilbøjelige til at vises, er omkring gennemsnittet. Med andre ord, når vi bevæger os væk fra middelværdien, falder sandsynligheden for, at værdierne vises, og deres frekvens falder.
Hvad har vi brug for for at repræsentere en normalfordeling?
- En tilfældig variabel.
- Beregn gennemsnittet.
- Beregn standardafvigelsen.
- Beslut den funktion, vi vil repræsentere: sandsynlighedsdensitetsfunktion eller fordelingsfunktion.
Teoretisk eksempel
Vi antager, at vi vil vide, om resultaterne af en test tilfredsstillende kan tilnærme en normalfordeling.
Vi ved, at 476 studerende deltager i denne test, og at resultaterne kan variere fra 0 til 10. Vi beregner gennemsnit og standardafvigelse fra observationer (testresultater).
Så vi definerer den tilfældige variabel X som testresultaterne, der afhænger af hvert enkelt resultat. Matematisk,
Hver elevs score registreres i en tabel. På denne måde opnår vi en global vision om resultaterne og deres hyppighed.
| Resultater | Frekvens |
| 0 | 20 |
| 1 | 31 |
| 2 | 44 |
| 3 | 56 |
| 4 | 64 |
| 5 | 66 |
| 6 | 62 |
| 7 | 51 |
| 8 | 39 |
| 9 | 26 |
| 10 | 16 |
| TOTAL | 476 |
Når tabellen er lavet, repræsenterer vi resultaterne af undersøgelsen og frekvenserne. Hvis grafen ligner det foregående billede og opfylder egenskaberne, kan testresultatvariablen tilnærmes tilfredsstillende til en normalfordeling på gennemsnit 4,8 og standardafvigelse på 3,09.
Kan testresultaterne tilnærme en normalfordeling?
Årsager til at overveje, at testresultatvariablen følger en normalfordeling:
- Symmetrisk fordeling. Der er det samme antal observationer både til højre og til venstre for den centrale værdi. Også, at middelværdien, medianen og tilstanden har samme værdi.
Middelværdi = median = tilstand = 5
- Observationerne med mest frekvens eller sandsynlighed er omkring den centrale værdi. Med andre ord er observationer med mindre frekvens eller sandsynlighed langt fra den centrale værdi.
Normalfordelingen beskriver den tilfældige variabel ved en tilnærmelse, der producerer standardfejl (bjælkerne over hver kolonne). Disse fejl er forskellen mellem de faktiske observationer (resultater) og densitetsfunktionen (normalfordeling).
