Tetraeder er en polyhedron med fire ansigter, seks kanter og fire hjørner. Det er en tredimensionel figur dannet af flere polygoner, som i dette tilfælde er trekanter.
Tetraederne er kendetegnet ved at være den enkleste af polyedrene og den eneste, der har mindre end fem sider.
Det er værd at nævne, at en tetraeder er en pyramide med en trekantet base.
Elementer af en tetraeder
Elementerne i en tetraeder, der styrer os fra nedenstående figur, er:
- Ansigter: De er siderne af tetraederet, som som nævnt er trekanter (ABC, ADC, ADB og BDC.
- Kanter: Det er foreningen af to ansigter: AB, AC, AD, BC, CD og DB.
- Hjørner: Det er de punkter, hvor kanterne mødes: A, B, C og D.
- Dihedral vinkel: Det er dannet af foreningen af to ansigter.
- Polyhedron vinkel: Det er en, der udgøres af siderne, der falder sammen i et enkelt toppunkt.
Areal og volumen af tetraeder
For at kende tetraederens egenskaber kan vi beregne:
- Areal: Arealet af de fire trekanter, der udgør polyhedronet, skal tilføjes. I den forstand skal vi huske, at arealet af en trekant beregnes ved at multiplicere basen med højden og dividere med 2 (A = bxh / 2)
- Bind: Det beregnes med følgende formel
I formlen er b ethvert flade på polyhedronet og h er højden eller segmentet, der forbinder b med dets modsatte toppunkt. Derudover er højden vinkelret på basen (de danner en ret vinkel eller måler 90º).
Regelmæssig tetraeder
Når alle trekanterne, der udgør tetraederne, er ligesidede trekanter, der er identiske med hinanden, står vi over for en regelmæssig tetraeder. Det vil sige, det ville være et tilfælde af en almindelig polyhedron, hvis ansigter alle er ens, og hver enkelt er også en regelmæssig polygon.
På dette tidspunkt skal vi huske, at en regelmæssig polygon er en, hvor alle siderne har samme længde, og også deres indvendige vinkler også er ens.
Husk derefter, at arealet (A) af en ligesidet trekant kan beregnes ved hjælp af Herons formel, hvor a, b og c er målingerne af siderne og s er semiperimeteret, som er omkredsen (P) mellem to.
Så ja:
P = a + b + c = a + a + a = 3a
Vi skal:
Derefter, da der er fire trekanter, multiplicerer vi arealet af hver enkelt med 4 for at finde arealet af tetraederet (AT):
På den anden side, hvis vi ønsker at beregne lydstyrken, skal vi finde polyhedronens højde. For at gøre dette vil vi blive styret af følgende billede:
Først beregner vi højden (h) af basen (trekanten ABC i dette eksempel), som er segmentet EB. Vinkel X måler 90º, så det Pythagoras sætning skal være opfyldt, og hypotenusen (BA), som måler a (længden af alle kanter i denne tetraeder), er lig med summen af hvert ben i kvadrat. Et af benene er EA, det er midten af segmentet AC (E skærer siden i to lige store dele) og måler a / 2. Det andet ben er også basehøjden (h eller EB).
Derefter vil EF ved egenskab af det almindelige tetraeder, hvor F er centrum for trekanten, være en tredjedel af segmentet EB, dvs. en tredjedel af h.
Næste trin, for at finde højden på tetraeder (DF), kan vi anvende Pythagoras sætning igen, fordi vinklen Y er korrekt, da højden er vinkelret (den måler 90º).
Når man ser på trekanten DEF, er hypotenusen DE, som er højden af trekanten ADC, og da alle ansigterne er ens, er den den samme højde h af trekanten ABC. Til gengæld er det ene ben højden på tetraederet (DF), som vi vil kalde ht, og det andet ben er det segment EF, som vi allerede har beregnet. Derfor:
Endelig multiplicerer vi højden på figuren (ht) med arealet af basen (A), der er beregnet ovenfor, og dividerer den med tre for at finde volumenet af tetraederet (V), som vi tidligere har forklaret.
Eksempel på tetraeder
Antages det, at en tetraeder er regelmæssig, og at hver side af dens ansigter er 20 meter. Hvad er arealet (AT) og volumen (V) på figuren?
