Funktionelle ligninger er dem, der har en anden funktion som ukendt. En funktion, der kan linkes til en algebraisk operation, såsom addition, subtraktion, division, multiplikation, magt eller rod.
Funktionelle ligninger kan også defineres som dem, der ikke let kan reduceres til en algebraisk funktion af typen f (x) = 0 for deres opløsning.
Funktionelle ligninger er karakteriseret, fordi der ikke er nogen enkelt måde at løse dem på. Derudover kan den pågældende variabel tage forskellige værdier (vi vil se den med eksempler).
Eksempler på funktionelle ligninger
Nogle eksempler på funktionelle ligninger er:
f (xy) = f (x). f (y)
f (x2+ og2) = f (xy)2/2
f (x) = f (x + 3) / x
I tilfælde som de foregående kan det f.eks. Tilføjes, at x tilhører sættet med reelle tal, det vil sige x ∈ R (nul kan udelukkes).
Eksempler på funktionelle ligninger
Lad os se nogle eksempler på løste funktionelle ligninger:
f (1 / 2x) = x-3f (x)
Så hvis jeg udskifter x med 1 / 2x:
f (1/2 (1 / 2x)) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)
f (x) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)
f (x) = (1 / 2x) -3 (x-3f (x))
f (x) = (1 / 2x) -3x + 9f (x)
8f (x) = 3x- (1 / 2x)
f (x) = (3/8) x- (1 / 16x)
Lad os nu se et andet eksempel med lidt mere vanskeligheder, men hvor vi fortsætter på en lignende måde:
x2f (x) -f (5-x) = 3x… (1)
I dette tilfælde løser vi først f (5-x)
f (5-x) = x2f (x) -3x… (2)
Nu erstatter jeg x med 5-x i ligning 1:
(5-x)2f (5-x) -f (5- (5-x)) = 3 (5-x)
(25-10x + x2) .f (5-x) -f (x) = 15-3x
Vi husker, at f (5-x) er i ligning 2:
(25-10x + x2). (x2f (x) -3x) -f (x) = 15-3x
25x2-75x-10x3f (x) + 30x2+ x4f (x) -3x3-f (x) = 15-3x
f (x) (x4-10x3-1) = 3x3-55x2+ 72x
f (x) = (3x3-55x2+ 72x) / (x4-10x3-1)
Cauchys funktionelle ligning
Den funktionelle Cauchy-funktion er en af de mest basale af sin art. Denne ligning har følgende form:
f (x + y) = f (x) + f (y)
Antages det, at x og y er i sættet med rationelle tal, fortæller løsningen af denne ligning os, at f (x) = cx, hvor c er en hvilken som helst konstant, og det samme sker med f (y).