Den matematiske forventning af en tilfældig variabel X er det tal, der udtrykker middelværdien af det fænomen, som denne variabel repræsenterer.
Den matematiske forventning, også kaldet den forventede værdi, er lig med summen af sandsynligheden for, at der findes en tilfældig begivenhed ganget med værdien af den tilfældige begivenhed. Med andre ord er det middelværdien af et datasæt. Dette under hensyntagen til, at udtrykket matematisk forventning er opfundet af sandsynlighedsteorien.
Mens i matematik kaldes den gennemsnitlige værdi af en begivenhed, der har fundet sted, et matematisk middelværdi. I diskrete fordelinger med samme sandsynlighed i hvert tilfælde er det aritmetiske gennemsnit det samme som den matematiske forventning.
Eksempel på matematisk forventning
Lad os se et simpelt eksempel for at forstå det.
Lad os forestille os en mønt. To hoveder, hoveder og haler. Hvad ville den matematiske forventning (forventet værdi) være, at den kommer ud af hovederne?
Den matematiske forventning vil blive beregnet som sandsynligheden for, at ved at vende mønten et meget stort antal gange, kommer den op på hovederne.
Da mønten kun kan lande i en af disse to positioner og begge har samme sandsynlighed for at komme ud, vil vi sige, at den matematiske forventning om, at den vil komme ud, er en ud af to, eller hvad der er det samme, 50% af tiden.
Vi skal prøve og vende en mønt 10 gange. Antag at mønten er perfekt.
Spins og resultat:
- Dyrt.
- Kryds.
- Kryds.
- Dyrt.
- Kryds.
- Dyrt.
- Dyrt.
- Dyrt.
- Kryds.
- Kryds.
Hvor mange gange har det været hoveder (vi tæller C'erne)? 5 gange Hvor mange gange er halerne kommet ud (vi tæller X'erne)? 5 gange. Sandsynligheden for at være hoveder vil være 5/10 = 0,5 eller i procent 50%.
Når denne begivenhed er sket, kan vi beregne det matematiske gennemsnit af antallet af gange, hver begivenhed har fundet sted. Den dyre side er kommet ud hver anden gang, det vil sige 50% af tiden. Gennemsnittet svarer til den matematiske forventning.
Beregning af matematisk forventning
Den matematiske forventning beregnes ved hjælp af sandsynligheden for hver begivenhed. Formlen, der formaliserer denne beregning, angives som følger:
Hvor:
- x = begivenhedsværdi.
- P = Sandsynligheden for at ske.
- jeg = Periode, hvor denne begivenhed finder sted.
- N = Samlet antal perioder eller observationer.
Sandsynligheden for, at en begivenhed finder sted, er ikke altid den samme som med mønter. Der er utallige tilfælde, hvor en begivenhed er mere tilbøjelige til at komme ud end en anden. Derfor bruger vi P. I formlen skal vi også gange med værdien af begivenheden ved beregning af matematiske tal. Nedenfor ser vi et eksempel.
Hvad bruges matematisk forventning til?
Den matematiske forventning bruges i alle de discipliner, hvor tilstedeværelsen af sandsynlige begivenheder er iboende for dem. Discipliner såsom teoretisk statistik, kvantefysik, økonometri, biologi eller finansielle markeder. Et stort antal processer og begivenheder, der opstår i verden, er unøjagtige. Et klart og letforståeligt eksempel er aktiemarkedets.
På aktiemarkedet beregnes alt ud fra forventede værdier. Hvorfor forventede værdier? Fordi det er hvad vi håber vil ske, men vi kan ikke bekræfte det. Alt er baseret på sandsynligheder, ikke sikkerhed. Hvis den forventede værdi eller matematiske forventning om et aktivs afkast er 10% om året, betyder det, at det på baggrund af de oplysninger, vi har fra fortiden, sandsynligvis er, at afkastet igen bliver 10%. Hvis vi naturligvis kun tager højde for matematisk forventning som en metode til at træffe vores investeringsbeslutninger.
Inden for finansmarkedsteorier bruger mange dette begreb matematisk forventning. Blandt disse teorier er den, som Markowitz udviklede på effektive tegnebøger.
Antag i tal, forenkling af en masse, at afkastet af et finansielt aktiv er følgende:
Rentabilitet i år 1, 2, 3 og 4.
- 12%.
- 6%.
- 15%
- 12%
Den forventede værdi vil være summen af afkastet ganget med sandsynligheden for, at det sker. Sandsynligheden for, at hver rentabilitet "sker", er 0,25. Vi har fire observationer, fire år. Hvert år har de samme sandsynlighed for at gentage sig selv.
Håb = (12 x 0,25) + (6 x 0,25) + (15 x 0,25) + (12 x 0,25) = 3 + 1,5 + 3,75 + 3 = 11,25%
Under hensyntagen til disse oplysninger vil vi sige, at forventningen til aktivets afkast er 11,25%.
Forventede levealder