Den matrixkvadratiske form er produktet af multiplikationen af en vektor i rækkefølge n med en hvilken som helst kvadratmatrix med vektoren i rækkefølge n transponeret.
Med andre ord er matrixkvadratformen en lineær kombination af en firkantet matrix, en vektor i rækkefølge n og transponering af denne vektor.
Anbefalet artikel: operationer med matricer.
Matrix kvadratisk formel
Givet en firkantet matrix Z af rækkefølge n og en vektor h med n-dimensioner, kan vi skrive udtrykket kaldet kvadratisk form af formen:
Resultatet af den kvadratiske form vil altid være en skalar, det vil sige et enkelt tal, ikke en matrix.
Ansøgninger
Matrixkvadratisk form bruges til at finde graden af positivitet og negativitet af de definerede matricer. Afhængig af værdierne af vektoren h vil værdien af den kvadratiske form være nul (0), positiv eller negativ.
Når vi først har fået den kvadratiske form, kan vi sige, at vi har "defineret" matrixen. Så vi kan tale om en bestemt matrix. Denne matrix kan være positiv bestemt, positiv semidefinit, negativ bestemt og negativ semidefinit.
Praktisk eksempel
Find den kvadratiske form af den firkantede matrix Z givet en vektor h:
Behandle
Først transponerer vi vektoren h.
Derefter anvender vi formlen for den kvadratiske form.
Som vi har sagt før, vil resultatet af den kvadratiske form altid være et enkelt tal. I dette tilfælde er det et strengt positivt tal.
Men … Hvordan kan det være, at resultatet er et konkret tal og ikke en matrix, hvis vi multiplicerer matricer?
Reduktionen af matrixens dimension fra multiplikation sker, fordi vi multiplicerer matricer, der deler det samme antal kolonner og rækker.
Demonstration:
Fra matrixproduktet Z og fra den transponerede vektor h forbliver der en vektor med dimension 3 × 1. På samme måde forbliver produktet af resultatvektoren og vektoren h en matrix med dimension 1 × 1. En matrix med dimension 1 × 1 er en skalar.
Så hvis vi beregner kvadratformen af en matrix og får en matrix med en dimension større end 1 × 1 (vi får et andet resultat end et specifikt tal), vil det betyde, at vi har lavet en fejl i et eller andet trin, og at resultatet er forkert.