Den eksponentielle funktion er grundlaget for kontinuerlig sammensætning, hvilket er resultatet af at øge uendeligt (når p har tendens til uendelig) hyppigheden af beregningen af interesse i en sammensat sammensætning.
Med andre ord er den eksponentielle funktion en sammensat sammensætning, hvor tidsperioderne mellem renteberegninger er uendelige (meget små).
Formlen for den eksponentielle funktion er:
Kontinuerlig sammensætning kan udtrykkes som
Rimelige ligheder mellem kontinuerlig kapitalisering og den eksponentielle funktion, ikke?
Vi definerer variablerne for kontinuerlig kapitalisering:
- Ct + 1: kapital på tidspunktet t + 1 (senere).
- Ct: kapital på tidspunktet t (nuværende).
- jegt: rente på tidspunktet t.
- p: blandingsfrekvens eller periodicitet.
- t: tid.
Ansøgninger
I økonomi finder vi ofte den eksponentielle funktion i formlen til kontinuerlig kapitalisering af fremtidig indkomst og i nogle økonometriske regressioner.
I økonomi er det ikke så populært, fordi de fleste mikroøkonomiske og makroøkonomiske modeller antager faldende marginale afkast på deres produktionsfaktorer. Derfor antager de, at faktorerne følger logaritmiske afkast og derfor returnerer i strid med den eksponentielle funktion.
Eksponentielt funktionseksempel
Vi antager, at vi er en amerikansk investor, der ønsker at bygge en skiløjpe i Pico Bolívar, Venezuela. Den oprindelige investering er $ 100MM med en årlig rente på 100%. Denne investor har tilstrækkelig forhandlingsstyrke til at bestemme periodiciteten af beregningen af renten på hans investering.
Hvilket alternativ foretrækker den amerikanske investor?
For at besvare spørgsmålet bliver vi nødt til at beregne kapitalen til tiden t + 1 (Ct + 1) som investoren vil modtage.
Information tilgængelig:
Ct: $ 100MM
jegt: 100%
t: 1 (årlig)
Ct + 1: ?
| Alternativ | TIL | B | C | D | OG | F |
| Periodicitet | 1 | 2 | 50 | 100.000 | 10.000.000 | 1.000.000.000 |
Vi erstatter de oplysninger, vi har i de to formler (funktion eksp. Og kontinuerlig brug af store bogstaver)
Vi behandler dataene og undgår MM.
Vi deler (Ct + 1) pr. 100 i den eksponentielle funktion for at eliminere virkningen af kapital. På denne måde bevæger vi kommaet to steder fremad. Derfor er denne effekt synlig i de følgende kolonner med resultater.
Resultater:
| Formel | Kontinuerlig sammensætning | Eksponentiel funktion |
| Periodicitet (p) eller (n) | Ct + 1 | Ct + 1/100 |
| 1 | 200 | 2 |
| 2 | 225 | 2,25 |
| 50 | 269,1588029 | 2,691588029 |
| 100.000 | 271,8268237 | 2,718268237 |
| 10.000.000 | 271,8281694 | 2,718281694 |
| 1.000.000.000 | 271,8282031 | 2,718282031 |
Når n eller p har en tendens til uendelig, i dette tilfælde fra 10.000.000, kan vi se, at værdierne konvergerer på et bestemt tal. For kontinuerlig sammensætning er det 271.8281 og for eksponentiel funktion er det 2.718281. De to serier konvergerer videre og.
Svaret på træning løst
Så hvilket alternativ vil den amerikanske investor ende med at vælge, hvis kapitalen fra et antal periodiciteter er t + 1 (Ct + 1) boder til en bestemt værdi?
- Hvis denne investor behandler kapital som en diskret variabel, vælger han alternativ D. Da der fra alternativ C er kapital ved t + 1 (Ct + 1) konvergerer til $ 271MM.
- Hvis denne investor behandler kapital som en kontinuerlig variabel, vælger han alternativet med flere periodiciteter. I dette tilfælde alternativ F. Selvom det ender med at konvergere til en værdi, tager investoren hensyn til alle decimaler.
Denne konvergens indebærer, at kapital ved t + 1 (Ct + 1), beregnet ved hjælp af den kontinuerlige sammensætningsformel eller den eksponentielle funktion, følger faldende marginale afkast. Med andre ord (Ct + 1) kan udtrykkes som en logaritmisk funktion.
Skematisk:
- Periodicitet = eksponentiel funktion.
- Kapital til t + 1 (Ct + 1) = logaritmisk funktion.
Grafisk repræsentation
I grafen kan du se, hvordan den eksponentielle funktion, der er uendeligt kontinuerlig, vokser meget hurtigere end den begrænsede kontinuerlige brug af store bogstaver. Når vi taler om kontinuerlig kapitalisering, henviser vi til en slags sammensat kapitalisering, men med større periodicitet, da det i praksis er umuligt at kapitalisere interesser uendeligt. Jeg mener, vi kan ikke udnytte hvert sekund.