Laplace's regel - Hvad er det, definition og koncept

Laplace's regel er en metode, der giver dig mulighed for hurtigt at beregne determinanten for en firkantet matrix med dimension 3 × 3 eller større ved hjælp af en rekursiv ekspansionsserie.

Med andre ord faktorer Laplace's regel den indledende matrix i lavere-dimensionelle matricer og justerer dens tegn baseret på elementets position i matricen.

Denne metode kan udføres ved hjælp af rækker eller kolonner.

Anbefalede artikler: matricer, matrixtypologier og determinant for en matrix.

Laplaces regelformel

En matrix Z_mxn enhver dimension mxn,hvor m = n udvides med hensyn til den i-række, derefter:

D_ijer determinanten opnået ved at eliminere den i-række og den i-kolonne af Z_mxn.

M_ijer jeg, j-th mindre. Det afgørende D_iji funktion af M_ijkaldes jeg, j-th kofaktoraf matrixen Z_mxn.
til er positionens tegnindstilling.

Teoretisk eksempel på Laplace's regel

Vi definerer TIL_3×3 Hvad:

Lad os starte med det første element a₁₁. Vi rasper de rækker og kolonner, der udgør₁₁. De elementer, der forbliver uden gitter, vil være den første determinant mindre ganget med a₁₁.

2. Vi fortsætter med det andet element i første række, det vil sige til₁₂. Vi gentager processen: vi riv de rækker og kolonner, der indeholder₁₂.

Vi justerer mindreårets tegn:

Vi tilføjer den anden determinant mindretil det forrige resultat, og vi danner en udvidelsesserie således, at:

3. Vi fortsætter med det tredje element i første række, det vil sige til₁₃. Vi gentager processen: vi riv den række og kolonne, der indeholder₁₃.

Vi tilføjer den tredje determinant mindre til det forrige resultat, og vi udvider ekspansionsserien således, at:

Da der ikke er flere elementer tilbage i første række, lukker vi den rekursive proces. Vi beregner determinanterne mindreårige.

På samme måde som elementer fra første række er blevet brugt, kan denne metode også anvendes med kolonner.

Laplaces regel praktiske eksempel

Vi definerer TIL_3×3Hvad:

1. Lad os starte med det første element r₁₁= 5. Vi rasper de rækker og kolonner, der udgør₁₁= 5. De elementer, der forbliver uden gitter, vil være den første determinant mindre ganget med a₁₁=5.

2. Vi fortsætter med det andet element i første række, det vil sige r₁₂= 2. Vi gentager processen: vi raser de rækker og kolonner, der indeholder r₁₂=2.

Vi justerer mindreårets tegn:

Vi tilføjer den anden determinant mindre til det forrige resultat, og vi danner en udvidelsesserie således, at:

3. Vi fortsætter med det tredje element i første række, det vil sige r₁₃= 3. Vi gentager processen: vi riv den række og kolonne, der indeholder r₁₃=3.