En binomial fordeling er en diskret sandsynlighedsfordeling, der beskriver antallet af succeser, når der udføres n uafhængige eksperimenter på en tilfældig variabel..
Der er en stor mangfoldighed af eksperimenter eller begivenheder, der kan karakteriseres under denne sandsynlighedsfordeling. Forestil dig et møntkast, hvor vi definerer begivenheden "at ramme hoveder" som succes. Hvis vi kaster mønten 5 gange og tæller de hits (hoveder), vi får, passer vores sandsynlighedsfordeling til en binomial fordeling.
Derfor forstås binomialfordelingen som en række tests eller forsøg, hvor vi kun kan have 2 resultater (succes eller fiasko), hvor succes er vores tilfældige variabel.
Egenskaber for binomialfordeling
For at en tilfældig variabel kan betragtes som følger en binomial fordeling, skal den opfylde følgende egenskaber:
- I hvert forsøg, eksperiment eller test er kun to resultater (succes eller fiasko) mulige.
- Sandsynligheden for succes skal være konstant. Dette er repræsenteret med bogstavet p. Sandsynligheden for, at en mønt vender hoveder er 0,5, og dette er konstant, da mønten ikke ændres i hvert eksperiment, og sandsynligheden for, at et hoveder er konstant.
- Sandsynligheden for fiasko skal også være konstant. Dette er repræsenteret af bogstavet q = 1-p. Det er vigtigt at bemærke, at ved hjælp af denne ligning, at kende p eller at kende q, kan vi opnå den, vi mangler.
- Resultatet opnået i hvert eksperiment er uafhængigt af det foregående. Derfor påvirker ikke det, der sker i hvert eksperiment, de følgende.
- Begivenhederne udelukker hinanden, dvs. de kan ikke begge ske på samme tid. Det er ikke muligt at være mand og kvinde på samme tid, eller at når man smider en mønt, kommer den ud af hoveder og haler på samme tid.
- Begivenhederne er samlet udtømmende, dvs. mindst en af de to skal forekomme. Hvis du ikke er en mand, er du en kvinde, og hvis du smider en mønt, hvis den ikke kommer op hoveder, skal det være haler.
- Den tilfældige variabel, der følger en binomialfordeling, er normalt repræsenteret som X ~ (n, p), hvor n repræsenterer antallet af forsøg eller eksperimenter og p sandsynligheden for succes.
Formel for binomialfordeling
Formlen til beregning af normalfordelingen er:
Hvor:
n = Antal forsøg / eksperimenter
x = antal succeser
p = Sandsynligheden for succes
q = Sandsynlighed for fejl (1-p)
Det er vigtigt at bemærke, at udtrykket i firkantede parenteser ikke er et matrixudtryk, men er et resultat af en kombinatorisk uden gentagelse. Dette opnås med følgende formel:
Udråbstegn i det foregående udtryk repræsenterer det faktuelle symbol.
Eksempel på binomialfordeling
Lad os forestille os, at 80% af mennesker i verden har set den sidste kamp i sidste fodbold-verdensmesterskab. Efter begivenheden mødes 4 venner for at tale. Hvad er sandsynligheden for, at 3 af dem har set spillet?
Lad os definere variablerne for eksperimentet:
n = 4 (er den samlede prøve, vi har)
x = antal succeser, som i dette tilfælde er lig med 3, da vi leder efter sandsynligheden for, at 3 af de 4 venner har set det.
p = sandsynlighed for succes (0,8)
q = sandsynlighed for fiasko (0,2). Dette resultat opnås ved at trække 1-p.
Efter at have defineret alle vores variabler erstatter vi simpelthen i formlen.
Faktorens tæller ville blive opnået ved at multiplicere 4 * 3 * 2 * 1 = 24 og i nævneren ville vi have 3 * 2 * 1 * 1 = 6. Derfor ville resultatet af fakultetet være 24/6 = 4 .
Uden for beslaget har vi to tal. Den første ville være 0,8 3 = 0,512 og den anden 0,2 (siden 4-3 = 1 og ethvert tal hævet til 1 er det samme).
Derfor ville vores endelige resultat være: 4 * 0,512 * 0,2 = 0,4096. Hvis vi multiplicerer med 100, har vi en sandsynlighed på 40,96% for, at 3 af de 4 venner har set verdensmesterskabens sidste kamp.