Den kolde nedbrydning er en speciel slags LU-matrixnedbrydning fra den engelske Lower-Upper, som består i at indregne en matrix i produktet af to eller flere matricer.
Med andre ord består Cholesky-nedbrydningen af at ligne en matrix, der indeholder det samme antal rækker og kolonner (kvadratmatrix) til en matrix med nuller over hoveddiagonalen ganget med dens matrix transponeret med nuller under hoveddiagonalen.
LU-nedbrydningen kan, i modsætning til Cholesky, anvendes på forskellige typer kvadratiske matricer.
Kolde nedbrydningskarakteristika
Den kolde nedbrydning består af:
- En øvre trekantet firkantet matrix: Firkantet matrix, der kun har nuller under hoveddiagonalen.
- En lavere trekantet firkantmatrix: En matrix, der kun har nuller over hoveddiagonalen.
Matematisk, hvis der findes en positiv bestemt symmetrisk matrix, OG, så findes der en lavere trekantet symmetrisk matrix, K, af samme dimension som OG, resulterende i:
Ovenstående matrix fremstår som Cholesky-matrixen af E. Denne matrix fungerer som kvadratroden af matrixen E. Vi ved, at domænet for kvadratroden er:
(X ∈ ℜ: x ≥ 0)
Hvilket er defineret i alle ikke-negative reelle tal. På samme måde som kvadratroden vil Cholesky-matrixen kun eksistere, hvis matrixen er semi-positiv bestemt. En matrix er semi-positiv defineret, når de større mindreårige har en positiv eller nul determinant.
Den kolde nedbrydning af OG er en diagonal matrix, således at:
Vi kan se, at matricerne er firkantede og indeholder de nævnte egenskaber; nulstrekant over hoveddiagonalen i den første matrix og trekanten af nuller under hoveddiagonalen i den transformerede matrix.
Kolde nedbrydningsapplikationer
I økonomi bruges det til at omdanne realiseringer af uafhængige normale variabler til normale variabler korreleret i henhold til en korrelationsmatrix OG.
Hvis N er en vektor af uafhængige normaler (0,1), følger det, at Ñ er en vektor af normaler (0,1) korreleret i henhold til OG.
Eksempel på Cholesky nedbrydning
Dette er det enkleste eksempel, vi kan finde på Cholesky-nedbrydning, da matricerne skal være firkantede. I dette tilfælde er matrixen (2 × 2). To rækker med to kolonner. Derudover opfylder den egenskaberne ved at have nuller over og under hoveddiagonalen. Denne matrix er semi-positiv bestemt, fordi de store mindreårige har en positiv determinant. Vi definerer:
Løsning for: c2 = 4; b · c = -2; til2+ b2 = 5; vi har fire mulige Cholesky-matricer:
Endelig beregner vi at finde (a, b, c). Når vi finder dem, har vi Cholesky-matricerne. Beregningen er som følger:
