Darmois-sætningen er en sætning, der gør det muligt at finde en statistik T for en parameter θ med egenskaben tilstrækkelig.
I endnu mere enkle ord tillader det at finde det matematiske udtryk, hvis der er nogen, af en tilstrækkelig statistik.
I forhold til Fisher-Neyman factoring-kriteriet kan vi overveje. Fisher-Neyman factoring-kriteriet tjener både til at kontrollere, om en statistik opfylder egenskaben tilstrækkelig, og at finde det matematiske udtryk for en tilstrækkelig statistik (hvis den findes). Derimod tillader Darmois 'sætning kun at finde det matematiske udtryk (hvis det findes) for en tilstrækkelig statistik.
Lad os sige, at mens Fisher-Neyman-faktoreringskriteriet bevæger sig fremad (søgning) og baglæns (afkrydsningen), bevæger Darmois-sætningen sig kun fremad (søgning).
Darmois sætning formel
Teoretisk udtrykkes det, givet en simpel tilfældig prøve af en tilfældig variabel X med densitetsfunktion f (x; θ) med θ ∈ Ω. Hvis denne funktion tilhører den eksponentielle familie, det vil sige, den kan udtrykkes således, at:
f (x; θ) = β (θ) × b (x) × e (a (x) × α (θ)
Derefter bliver statistikken T = T (x1,…, xn) = Σ a (x)
For at lette beregningerne udføres normalt logaritmisk notation:
lnf (x; θ) = lnβ (θ) + lnb (x) + (a (x) × α (θ))
Selvfølgelig er det svært at forstå al denne matematiske notation. Mange ukendte vises, mange breve, mange operatører. Lad os omdefinere det med dagligdags ord. Til dette formål starter vi med den teoretiske definition anvendt på et eksempel:
Antag en tilfældig stikprøve på 50 børn (simpel tilfældig prøve), som vi spørger, hvor mange penge de bruger om ugen på slik (tilfældig variabel X) med en given tæthedsfunktion (se densitetsfunktion). Så hvis denne densitetsfunktion kan vi udtrykke den som følger:
Vi fastslår, at den tilstrækkelige statistik er summen af udtrykket a (x)
Delene med formlen er defineret som følger:
- lnβ (θ): Det er en funktion, der kun afhænger af parameteren (i vores tilfælde middelværdien)
- lnb (x): Det er en funktion, der kun afhænger af den tilfældige variabel X
- a (x): Det er en funktion, der kun afhænger af X og multiplicerer α (θ)
- α (θ): Det er en funktion, der kun afhænger af parameteren (i vores tilfælde middelværdien)
Darmois 'sætning i praksis
Selvom vi alle har evnen og værktøjerne til at finde nye statistikker, er dette sjældent normen. Med andre ord forsker økonomiprofessorer og eksperter på området om disse emner.
På et personligt grundlag er det vanskeligt at finde nogen, der er dedikeret til at udføre denne type forskning. I praksis er det vigtige ved denne sætning således at forstå, hvor disse statistikker, vi bruger, kommer fra.
For eksempel for at nogen kan opdage, at middelværdien er en tilstrækkelig statistik, brugte de sandsynligvis denne proces.