Unionen af begivenheder er en operation, hvis resultat er sammensat af alle de ikke-gentagne elementære begivenheder, som to eller flere sæt har til fælles og ikke til fælles.
Det vil sige, givet to sæt A og B, ville foreningen af A og B dannes af alle de ikke-gentagne sæt, der har A og B. Intuitivt ville sandsynligheden for foreningen af begivenhederne i A og B antyde at reagere på spørgsmål: Hvad er sandsynligheden for, at A kommer ud, eller at B kommer ud?
Symbolet for foreningen af begivenheder er U. På en sådan måde, at hvis vi matematisk vil bemærke foreningen af to begivenheder B og D, vil vi bemærke det som: B U D.
Generalisering af begivenhedsunionen
Indtil videre har vi set og angivet foreningen af to begivenheder. For eksempel A U B eller B U D. Men hvad hvis vi har tre, fire og endda hundrede begivenheder?
Dette er, hvad vi kalder generalisering, det vil sige en formel, der hjælper os med at lægge mærke til foreningen af begivenheder i disse tilfælde. Hvis vi har 8 begivenheder, bruger vi følgende notation i stedet for at skrive de ti begivenheder:
I stedet for at kalde hver begivenhed A, B eller ethvert bogstav, vil vi kalde Ja. S er begivenheden, og abonnementet i angiver nummeret. På en sådan måde, at vi vil have følgende anvendt på eksemplet med 10 begivenheder:
Det, vi har gjort, er at anvende den tidligere notation og udvikle den. Nu behøver vi ikke altid. Især når det kommer til et stort antal begivenheder.
Forening af uensartede og ikke-sammenhængende begivenheder
Hvad begrebet uensartede begivenheder indikerer, er at to begivenheder ikke har nogen elementer til fælles.
Når de er adskilt, er begivenhedsforeningens operation enkel. Du skal kun tilføje sandsynlighederne for begge for at opnå sandsynligheden for, at den ene eller den anden begivenhed finder sted. Men når begivenhederne ikke er adskilt, skal der tilføjes en lille detalje. Gentagne elementer skal fjernes. For eksempel:
Antag et resultatrum, der går fra 1 til 5. Begivenhederne er som følger:
Hændelse A: (1,2,4) -> 60% sandsynlighed = 0,6
Begivenhed B: (1,4,5) -> 60% sandsynlighed = 0,6
Operationen A UB ville intuitivt være at tilføje begivenhederne for A og begivenhederne for B, men hvis vi gør dette, vil sandsynligheden være 1,2 (0,6 + 0,6). Og som sandsynlighedsaksiomerne indikerer, skal sandsynligheden altid være mellem 0 og 1. Hvordan løser vi det? Fratrækning af skæringspunktet mellem begivenhederne A og B. Det vil sige at fjerne elementerne, der gentages:
A + B = (1,1,2,4,4,5)
A ∩ B = (1,4)
A U B = A + B - (A ∩ B) = (1,2,4,5)
Når det gælder sandsynligheder, bliver vi nødt til at:
P (A U B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B) = 0,6 +0,6 - 0,4 = 0,8 (80%)
Faktisk er sandsynligheden for, at 1 eller 2 eller 4 eller 5. kommer op. Hvis vi antager, at alle tal har samme sandsynlighed for at ske, er 80%.
Grafisk ville det se sådan ud:
Event Union Properties
Foreningen af begivenheder er en type matematisk operation. Nogle typer operationer er også addition, subtraktion, multiplikation. Hver af dem har en række egenskaber. For eksempel ved vi, at resultatet af tilføjelse af 3 + 4 er nøjagtigt det samme som ved tilføjelse af 4 +3. På dette tidspunkt har eventunionen flere egenskaber, der er værd at vide:
- Kommutativ: Det betyder, at rækkefølgen, i hvilken den er skrevet, ikke ændrer resultatet. For eksempel:
- A U B = B U A
- C U D = D U C
- Associativ: Forudsat at der er tre begivenheder, er vi ligeglad med hvilken der skal gøres først og hvilken der skal gøres næste. For eksempel:
- (A U B) U C = A U (B U C)
- (A U C) U B = (A U B) U C
- Distributiv: Når vi inkluderer krydsetypen af operation, gælder den distribuerende ejendom. Se bare på følgende eksempel:
- A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
Event Union Eksempel
Et simpelt eksempel på foreningen af to begivenheder A og B ville være følgende. Antag sagen om kastet af en perfekt matrice. En matrice, der har seks ansigter nummereret fra 1 til 6. På en sådan måde, at begivenhederne defineres nedenfor:
TIL: At det er større end 2. (3,4,5,6) er sandsynligheden 4/6 => P (A) = 0,67
C: Lad fem komme ud. (5) er sandsynligheden 1/6 => P (C) = 0,17
Hvad er sandsynligheden for A U C?
P (A U C) = P (A) + P (C) - P (A ∩ C)
Da P (A) og P (C) allerede har det, skal vi beregne P (A ∩ C)
A ∩ C = (5) i sandsynligheder P (A ∩ C) = 1/6 = 0,17
Slutresultatet er:
P (A U C) = P (A) + P (C) - P (A ∩ C) = 0,67 + 0,17 - 0,17 = 0,67 (67%)
Sandsynligheden for, at den vil rulle mere end 2, eller at den vil rulle 5 er 67%.