Barycenter af en trekant - Hvad er det, definition og koncept

Tyngdepunktet for en trekant er det punkt, hvor figurens medianer krydser hinanden. Det er også kendt som en centroid.

Det skal huskes, at medianen er det segment, der forbinder toppunktet i trekanten med midtpunktet på den modsatte side. Således har hver trekant tre medianer.

For eksempel er tyngdepunktet i trekanten ovenfor punkt O, hvor medianerne er segmenterne AF, BD og CE.

En vigtig egenskab ved tyngdepunktet er, at afstanden fra hvert toppunkt er dobbelt så lang afstand fra den modsatte side.

For bedre at forklare det kan der skelnes mellem to dele i hver median:

1. Afstanden fra toppunktet til tyngdepunktet, som er 2/3 af medianens længde
2. Den resterende 1/3, som er afstanden fra tyngdepunktet til midtpunktet på den modsatte side.

På billedet ovenfor er det for eksempel rigtigt, at:

Sådan finder du tyngdepunktet for en trekant

For at finde tyngdepunktet i trekanten skal vi tage i betragtning, at koordinaterne for tyngdepunktets koordinater svarer til dets aritmetiske gennemsnit ved at kende koordinaterne for de tre hjørner af trekanten. Så antag, at hjørnerne er:

Derefter ville koordinaterne for tyngdepunktet, som vi kalder O, være:

Nu er det også muligt at finde tyngdepunktet, hvis vi har ligningerne for de linjer, der indeholder mindst to af medianerne.

Husk, at i analytisk geometri kan en linje udtrykkes som en algebraisk ligning af første orden som:

y = xm + b

I den viste ligning er y koordinaten på ordinataksen (lodret), x er koordinaten på abscissaksen (vandret), m er hældningen (hældning), der danner linjen i forhold til abscissaksen, og b er det punkt, hvor linjen skærer ordinataksen.

Lad os se på et eksempel for bedre at forstå ovenstående.

Eksempel på tyngdepunkt

Antag, at vi har en trekant, som vi kender to af dens hjørner:

A (0,4) og B (-2,1)

Nu er det yderligere kendt, at midtpunktet for siden modsat toppunkt A er (3,1), og midtpunktet for siden modsat toppunkt B er (4, 2,5). Det er værd at præcisere, at vi bruger semikolonet for ikke at forveksles med kommaet, der adskiller decimalerne.

Først finder vi ligningen af ​​linjen, der indeholder medianen, der starter fra toppunkt A, idet vi tager i betragtning, at hældningen, når den går fra et punkt til et andet, altid skal være den samme. Hældningen er variationen i den lodrette akse mellem variationen i den vandrette akse:

Hvad vi har gjort er at antage, at linjen passerer gennem et punkt (x1, y1), som er toppunktet A (0, 4), og gennem punktet (x2, y2), som er midtpunktet for dets modsatte side (3, 1).

Derefter gør vi det samme med toppunkt B (-2,1) og midtpunktet på dets modsatte side (-4, -2,5):

Næste trin udligner vi højre side af de to ligninger, der findes til at løse værdien på X-aksen, når begge falder sammen:

Derefter løser vi i en af ​​ligningerne for at finde værdien af ​​y:

Derfor er tyngdepunktet i trekanten punktet (2,2) i det kartesiske plan.