Lineær kombination af vektorer

En lineær kombination af vektorer opstår, når en vektor kan udtrykkes som en lineær funktion af andre vektorer, som er lineært uafhængige.

Med andre ord er den lineære kombination af vektorer, at en vektor kan udtrykkes som en lineær kombination af andre vektorer, der er lineært uafhængige af hinanden.

Krav til lineær kombination af vektorer

Den lineære kombination af vektorer skal opfylde to krav:

  1. At en vektor kan udtrykkes som en lineær kombination af andre vektorer.
  2. Lad disse andre vektorer være lineært uafhængige af hinanden.

Lineær kombination i beregning

I grundlæggende matematik er vi vant til ofte at se lineære kombinationer uden at indse det. For eksempel er en linje en kombination af en variabel i forhold til den anden, således at:

Men rødder, logaritmer, eksponentielle funktioner … er ikke længere lineære kombinationer, da proportionerne ikke forbliver konstante for hele funktionen:

Så hvis vi taler om lineær kombination af vektorer, vil ligningens struktur have følgende form:

Da vi taler om vektorer, og den tidligere ligning henviser til variabler, for at opbygge kombinationen af ​​vektorer behøver vi kun erstatte variablerne med vektorer. Lad følgende vektorer være:

Så vi kan skrive dem som en lineær kombination som følger:

Vektorerne er lineært uafhængige af hinanden.

Græsk brev lambda fungerer som parameter m i linjens generelle ligning. Lambda vil være et hvilket som helst reelt tal, og hvis det ikke vises, siges dets værdi at være lig med 1.

At vektorerne er lineært uafhængige betyder, at ingen af ​​vektorerne kan udtrykkes som en lineær kombination af de andre. Det er kendt, at de uafhængige vektorer danner et grundlag for rummet, og den afhængige vektor også hører til dette rum.

Parallelepiped eksempel

Vi antager, at vi har tre vektorer, og vi vil udtrykke dem som en lineær kombination. Vi ved også, at hver vektor kommer fra det samme toppunkt og udgør abscissen for det toppunkt. Den geometriske figur er en parallelepiped. Da de informerer os om, at den geometriske figur, som disse vektorer danner, er abscissen af ​​en parallelepiped, så afgrænser vektorerne ansigterne på figuren.

Først skal vi vide, om vektorerne er lineært afhængige. Hvis vektorerne er lineært afhængige, kan vi ikke danne en lineær kombination ud fra dem.

Tre vektorer:

Hvordan kan vi vide, om vektorerne er lineært afhængige, hvis de ikke giver os information om deres koordinater?

Nå, ved hjælp af logik. Hvis vektorerne var lineært afhængige, ville alle parallelepipedens ansigter kollapse. Med andre ord ville de være de samme.

Derfor kan vi udtrykke en ny vektor w som et resultat af den lineære kombination af de tidligere vektorer:

Vektor, der repræsenterer kombinationen af ​​de tidligere vektorer:

Grafisk:

Populære Indlæg

Proaktivitet som nøglen til jobsucces

I øjeblikket er et af de mest gentagne udtryk på arbejdspladsen ”proaktivitet”. Når alle virksomheder vælger personale til deres skabeloner, ser alle virksomheder ud til at have den samme attribut: en kandidat blandt andre færdigheder, der kan betragtes som proaktiv. Men ved vi virkelig, hvad der menes med dette ord, Læs mere…

Pengepolitikker har fungeret bedre end finanspolitikker under krisen

Den globale krise, der har ramt hele verden siden 2007, har medført dybe ændringer. Lande, der syntes at være på ubestemt tid på vej til velstand, er havnet i nedsænkning, mens andre, selv startende fra en ugunstig situation, benyttede sig af den nye økonomiske situation for at styrke deres vækst. I Læs mere…

Lande efter BNP

I denne artikel kan vi finde en liste over alle lande i verden bestilt i henhold til deres nominelle BNP. Det første land på listen og derfor det land med den største økonomiske magt i verden er De Forenede Stater. For det andet ville EU være et land. BNP (bruttonationalprodukt) er den økonomiske indikatorLæs mere…

Taylors regel kan fremskynde stigningen i renten i USA

Markedskonsensus forventer, at Federal Reserve (FED) hæver renten i eftermiddag og begynder en ny renteforhøjelse i løbet af det næste år. Nogle analytikere hævder, at disse renteforhøjelser kan være mere bratte end forventet, da indikatoren historisk fulgt af centralbanken, Læs mere…