En lineær kombination af vektorer opstår, når en vektor kan udtrykkes som en lineær funktion af andre vektorer, som er lineært uafhængige.
Med andre ord er den lineære kombination af vektorer, at en vektor kan udtrykkes som en lineær kombination af andre vektorer, der er lineært uafhængige af hinanden.
Krav til lineær kombination af vektorer
Den lineære kombination af vektorer skal opfylde to krav:
- At en vektor kan udtrykkes som en lineær kombination af andre vektorer.
- Lad disse andre vektorer være lineært uafhængige af hinanden.
Lineær kombination i beregning
I grundlæggende matematik er vi vant til ofte at se lineære kombinationer uden at indse det. For eksempel er en linje en kombination af en variabel i forhold til den anden, således at:
Men rødder, logaritmer, eksponentielle funktioner … er ikke længere lineære kombinationer, da proportionerne ikke forbliver konstante for hele funktionen:
Så hvis vi taler om lineær kombination af vektorer, vil ligningens struktur have følgende form:
Da vi taler om vektorer, og den tidligere ligning henviser til variabler, for at opbygge kombinationen af vektorer behøver vi kun erstatte variablerne med vektorer. Lad følgende vektorer være:
Så vi kan skrive dem som en lineær kombination som følger:
Vektorerne er lineært uafhængige af hinanden.
Græsk brev lambda fungerer som parameter m i linjens generelle ligning. Lambda vil være et hvilket som helst reelt tal, og hvis det ikke vises, siges dets værdi at være lig med 1.
At vektorerne er lineært uafhængige betyder, at ingen af vektorerne kan udtrykkes som en lineær kombination af de andre. Det er kendt, at de uafhængige vektorer danner et grundlag for rummet, og den afhængige vektor også hører til dette rum.
Parallelepiped eksempel
Vi antager, at vi har tre vektorer, og vi vil udtrykke dem som en lineær kombination. Vi ved også, at hver vektor kommer fra det samme toppunkt og udgør abscissen for det toppunkt. Den geometriske figur er en parallelepiped. Da de informerer os om, at den geometriske figur, som disse vektorer danner, er abscissen af en parallelepiped, så afgrænser vektorerne ansigterne på figuren.
Først skal vi vide, om vektorerne er lineært afhængige. Hvis vektorerne er lineært afhængige, kan vi ikke danne en lineær kombination ud fra dem.
Tre vektorer:
Hvordan kan vi vide, om vektorerne er lineært afhængige, hvis de ikke giver os information om deres koordinater?
Nå, ved hjælp af logik. Hvis vektorerne var lineært afhængige, ville alle parallelepipedens ansigter kollapse. Med andre ord ville de være de samme.
Derfor kan vi udtrykke en ny vektor w som et resultat af den lineære kombination af de tidligere vektorer:
Vektor, der repræsenterer kombinationen af de tidligere vektorer:
Grafisk:
