Den største fælles divisor (GCF) er det største antal, hvormed to eller flere tal kan deles. Dette uden at efterlade nogen rester.
Det vil sige, at den største fælles skiller eller GCF er det højeste tal, hvormed et sæt tal kan deles, hvilket resulterer i et heltal.
En skillevæg kan defineres formelt som det tal, der er indeholdt i en anden nøjagtigt et antal n gange.
Det skal bemærkes, at de tal, som GCF beregnes på, ikke må være nul.
Lad os se på et eksempel for at forklare det bedre. Antag, at vi har 35 og 15. Således observerer vi, hvad delerne for hver er:
- Skillevægge på 35 → 35,7,5,1
- Skillevægge på 15 → 15,5,3,1
Derfor er den største fælles faktor på 35 og 15 5.
Det er værd at nævne, at hvis de fælles skillelinjer med to tal kun er 1 og -1, kaldes de "primære for hinanden".
Metoder til at beregne den største fælles skiller
Vi kan skelne mellem følgende tre metoder til beregning af den største fælles skiller:
- Nedbrydning af primfaktor: Tallene nedbrydes til primtal. Derefter tager vi de almindelige tal hævet til den laveste effekt for at beregne GCF. Antag for eksempel, at vi har 216 og 156:
216/2=108
108/2=54
54/2=27
27/3=9
9/3=3
3/3=1
216=(3^3)*(2^3)
156/2=78
78/2=39
39/3=13
13/13=1
156=13*3*(2^2)
Derfor er den største fælles skiller mellem begge tal: (2 2) * 3 = 12
Antag nu, at vi har tre elementer: 315, 441 og 819
315= (3^2)*7*5
441= (3^2)*(7^2)
819= (3^2)*7*13
Derefter, efter at have opdelt dem og taget hver skillevæg med den laveste effekt, ville resultatet være:
GCF = (3 2) * 7 = 63
- Euclids algoritme: Ved deling til Kom ind b, opnås et kvotient c og en r. Så den største fælles skiller af til Y b er det samme som b Y r. Dette givet følgende: a = bc + r. For at forstå det bedre, lad os anvende denne metode på eksemplet vist tidligere med 216 og 156.
216/156 = 1 med resten på 60
nu deler vi 156/60 = 2 med resten 36
Vi deler igen 60/36 = 1 med resten 24
Endnu en gang deler vi 36/24 = 1 med resten 12
Og endelig deler vi 24/12 = 2 med resten 0
Derfor er den største fælles skiller 12. Som vi kan se, skal vi dele, indtil resten er 0, og den sidste skillevæg er GCF.
- Baseret på det mindst almindelige multiple: Tallene ganges, og resultatet divideres med deres mindst fælles multiplum (LCM).
Vi skal huske, at det mindst almindelige multiple (LCM) er den mindste figur, der opfylder betingelsen om at være et multiplum af alle elementerne i et sæt tal.
Hvis vi går tilbage til det samme eksempel, kan vi nedbryde som følger:
216 = (3 3) * (2 3) og 156 = 13 * 3 * (2 2) 204 = 3 * (2 2) * 17 168 = 3 * (2 3) * 7
Det mindst almindelige multiple ville være: (3 3) * (2 3) * 13 * 17 * 7 = 334.152
Så: GCD = 216 * 156 / 2.808 = 12
Det er værd at nævne, at denne metode kun fungerer for to numre.