Afstanden mellem to punkter af dimension R i rummet er anvendelsen af kvadratroden på vektoren dannet af de ordnede punkter.
Med andre ord er afstanden mellem to punkter i rummet modulet for den vektor, der dannes af disse punkter.
Afstanden mellem to punkter er intet andet end modulet for vektoren dannet af de givne punkter. Når vektorens modul er beregnet, har vi allerede afstanden mellem de to punkter.
Formel
Givet følgende to punkter:
Derefter vil afstanden mellem disse to punkter være modulet for vektoren, som de danner:
Derfor vil denne vektors modul være afstanden mellem disse to punkter:
Længden af roden afhænger af antallet af dimensioner, som punkterne har. Hvis de kun er todimensionale punkter, vil der kun være to udtryk inden for roden. På den anden side, hvis punkterne har 6 dimensioner, vil der være 6 elementer inden for roden.
Det siges, at punkterne skal bestilles, fordi i vektorer, som i matricer, betyder rækkefølgen af faktorer og er afgørende for korrekt problemløsning. En vektor, der går fra punkt B til punkt C, er ikke den samme som en anden vektor, der går fra punkt C til punkt B.
Skematisk:
Hvad de to tidligere vektorer deler, er afstanden: både vektor BC og vektor CB holder den samme afstand mellem deres punkter. Med andre ord har de det samme modul.
Dette skyldes, at forskellen mellem de to vektorer kun er tegnet på deres koordinater. Da modulet inkluderer at lave kvadratet af vektorens koordinater, producerer det den samme effekt, som hvis vi anvendte den absolutte værdi. Faktisk er dette grunden til, at vi angiver modulet til en vektor med de to parallelle linjer:
Derefter anvendes roden for at fjerne effekten af komponenternes firkant og vende tilbage til de samme enheder.
Afstand i analytisk geometri og i virkeligheden
Når vi skal beregne afstande i analytisk geometri, kan vi hjælpe os med reelle eksempler. For eksempel, hvis vi bliver bedt om at beregne afstanden mellem to punkter, som i dette tilfælde, kan vi forestille os os selv som startpunktet (punkt B) og et objekt som slutpunktet (punkt C). Så vi kan måle den afstand ved at trække i absolut værdi mellem det ene punkt og det andet. Med andre mere tekniske ord skal du beregne modulet.
Vi vil se, at der fra vores position til objektet og fra objektet til os vil være den samme afstand. Derudover vil afstanden altid være positiv, uanset om den er 0 eller større. Det kan være, at vi holder objektet, og derfor er afstanden 0, eller at målet er langt væk, derfor en positiv afstand.
Eksempel på afstand mellem to punkter
Beregn afstanden mellem følgende punkter:
