Sankt Petersborg Paradoks - Hvad det er, definition og koncept

Sankt Petersborg paradoks er et paradoks observeret af Nicolaus Bernoulli, og det har sin grund til at være i spil. Dette paradoks fortæller os, at i beslutningsteorien er alle væddemål optaget, uanset deres værdi, selvom den nævnte værdi viser os, at det ikke er en rationel beslutning.

Skt.Petersborgs paradoks, for at vi kunne forstå det korrekt, var et paradoks beskrevet af Nicolaus Bernoulli efter at have observeret spil, hvorfor dette paradoks eksisterer.

Spilteori

I denne forstand fortæller paradokset os, at teorien om de formulerede beslutninger viser os, at den rationelle beslutning i et væddemål er alt, uanset det beløb, som hver indsats antager. Men korrekt analyse af denne situation og nøjagtig behandling af teorien bemærker vi, at intet rationelt væsen ville vælge at træffe beslutningen om at satse et beløb tæt på uendeligt, selvom teorien indikerer, at det er rationelt. Af denne grund opstår paradokset.

Oprindeligt observeres paradokset af Nicolaus Bernoulli, som det fremgår af et brev sendt af ham til Pierre de Montmort, en fransk aristokrat og matematiker, den 9. september 1713.

Men fordi Nicolaus undersøgelse ikke opnåede resultater, præsenterede han paradokset for sin fætter Daniel Bernoulli i 1715, en matematiker af hollandsk oprindelse og rektor ved universitetet i Basel, der mødtes i Sankt Petersborg med en fremtrædende gruppe forskere og efter års forskning, offentliggjort i 1738 et nyt målesystem i sit arbejde "Exposition of a new theory in risk measure".

Modellen, der er foreslået af Daniel, i modsætning til den, der er foreslået af Nicolaus, lægger grundlaget for, hvad der senere ville forfine og fuldføre teorien om forventet nytte.

Skt. Petersborg paradoksformel

Den formulering, som Nicolaus Bernoulli foreslår til sin fætter og Pierre de Montmort, er som følger:

Lad os forestille os et hasardspil, hvor spilleren naturligvis skal betale et beløb for at deltage.

Antag at spilleren satser på haler og kaster mønten successivt indtil haler. Efter haler stoppes spillet, og spilleren får $ 2 n.

Således, hvis haler vinder spilleren først 2 1, hvilket er $ 2. Men hvis haler igen, får den 2 2, hvilket er $ 4 osv. Hvis det kommer ud igen, vil det være 8 dollars, hvilket svarer til 2 3; mens, hvis det kommer ud for fjerde gang, vil prisen være 16 dollars, dvs. repræsentationen 2 4.

Således var Nicolaus 'spørgsmål følgende: Under hensyntagen til ovennævnte rækkefølge og fortjenesten, hvor meget ville spilleren være villig til at betale for dette spil uden at miste rationalitet?

Eksempel på St. Petersburgs paradoks

I betragtning af den formulering, der er foreslået af Nicolaus, og tvivlen om, at han stillede over for den franske matematiker og hans fætter, lad os se grunden til dette paradoks som et eksempel for at forstå, hvad vi mener.

Først og fremmest skal vi vide, at vi inden spillet starter har et uendeligt antal mulige resultater. Nå, selvom sandsynligheden er 1/2, kan halerne muligvis ikke komme ud før 8. rulle.

Derfor er sandsynligheden for, at dette kryds vises på kast k:

Pk = 1 / 2k

Overskuddet er også 2k.

Fortsat med udviklingen præsenterer de første haler på 1. kast en gevinst på 2¹ ($ 2) og en sandsynlighed på 1/2. Haler ved 2. forsøg har en gevinst på 2² (4 dollars) og en sandsynlighed på 1/2²; mens der, hvis haler ved tredje forsøg, har spilleren en sejr på 2³ ($ 8) og en sandsynlighed på 1/2³. Som vi kan se, et forhold, der strækker sig, så længe vi tilføjer kørsler.

Før vi fortsætter, skal det bemærkes, at vi i beslutningsteorien kalder matematisk forventning (EM) eller forventet sejr i et spil summen af ​​præmierne, der er knyttet til hvert af de mulige resultater af spillet, og alle dem vægtet med sandsynligheden for, at hvert af disse resultater vil forekomme.

Hvis vi tager højde for den tilgang, der viser dette paradoks, ser vi, at når man spiller, er sandsynligheden for at vinde 2 dollars 1/2, men derudover er sandsynligheden for at vinde 4 1/4, mens den for at vinde 8 dollars er 1/8. Dette, indtil det når situationer som at vinde 64 dollars, sandsynligheden for denne sag er 1/64.

Med disse resultater, hvis vi beregner den matematiske forventning, eller hvad vi kender som den forventede sejr i spillet, skal vi tilføje gevinsten af ​​alle de mulige resultater vægtet med sandsynligheden for deres forekomst, så resultatet viser os en uendelig værdi.

Hvis vi følger den valgte teori, fortæller den os, at vi skal satse ethvert beløb for det enkle faktum, at enhver beslutning er gunstig for os. Nu er det faktum, at det er et paradoks, fordi en spiller rationelt ikke vil satse på ubestemt tid, selvom teorien skubber ham til at gøre det.

Et fremtrædende paradoks

Mange har været de matematikere, der har forsøgt at dechiffrere det paradoks, Bernoulli har foreslået, men der er også mange, der ikke har været i stand til at løse det.

Der er således adskillige eksempler, der viser os, hvordan paradokset har forsøgt at blive løst af matematikere, der har adresseret både spillets struktur og individernes beslutninger. Men til dato kan vi stadig ikke finde en gyldig løsning.

Og det er, for at få en idé om kompleksiteten af ​​dette paradoks under hensyntagen til teorien om valg i dette eksempel, antager vi som en mulig pris efter beregningen et uendeligt antal mønter, der selv forudsat at det var muligt, ville det være uforeneligt med selve det monetære system, da det er penge, der i modsætning til hvad paradokset siger er begrænsede.