Udtrykket konkav bruges til at beskrive en overflade, der har en indadgående krumning, hvor dens centrale del er den mest sunkne eller deprimerede.
Derfor siger vi, at en bakke eller en forhindring som den, der kan ses på vejene for at begrænse hastigheden, er konkav.
Ligeledes er det muligt at analysere, om der er geometriske figurer, der også er konkave. For eksempel er en konkav kurve en med en omvendt U-form. En måde at nemt huske, hvordan en konkav funktion ser ud, er et trist ansigt.
Selvom brugen af konkaviteten har været i relation til en kurve, er sandheden, at den også gælder for matematiske funktioner og polygoner, som vi vil se senere.
Hvordan ved jeg, om en funktion er konkav?
Hvis det andet afledte af en funktion er mindre end nul ved et punkt, er funktionen konkavt på det punkt.
Ovenstående kan udtrykkes som følger:
f »(x) <0
For eksempel har vi funktionen f (x) = -x2 + 2x + 5. Dens første derivat er f '(x) = -2x +2, og dets andet derivat ville være f »(x) = -2. Derfor er funktionen f (x) = x2 + x + 3 er konkav for hver værdi af x, som vi ser i nedenstående graf, som er en parabel:
Lad os forestille os denne anden funktion f (x) = x3-5x2 +7. Dens første afledte f '(x) = 3x2 -10x og dets andet derivat f »(x) = 6x -10. Når vi har beregnet det andet afledte, skal vi kontrollere, hvilke værdier af x, funktionen er konveks.
Så vi indstiller det andet afledte lig med 0:
f »(x) = 6x-10 = 0
6x = 10
x = 1,67
Derfor er funktionen konkav, når x er mindre end 1,67, da det andet derivat af ligningen er negativt. Vi kan kontrollere dette ved at erstatte forskellige værdier på x. På samme måde er funktionen konveks, når x er større end 1,67, som vi kan se på billedet nedenfor:
Konkave polygon
En konkav polygon er en, hvor der skal trækkes en lige linje, der er uden for figuren (en udvendig diagonal) for at forbinde to af sine punkter. Mindst en af dens indvendige vinkler er også større end 180º. Dette er for eksempel tilfældet med en konkav firkant som den, vi ser nedenfor:
Det modsatte af en konkav polygon er en konveks. Dette er den, hvor alle indvendige vinkler er mindre end 180º, og for at forbinde et hvilket som helst to punkter i figuren kan der tegnes en lige linje, der forbliver inden for polygonen.