Poisson-fordelingen er en diskret sandsynlighedsfordeling, der modellerer frekvensen af visse begivenheder i et fast tidsinterval baseret på den gennemsnitlige hyppighed af disse begivenheder.
Med andre ord er Poisson-fordelingen en diskret sandsynlighedsfordeling, som kun ved at kende begivenhederne og deres gennemsnitlige forekomst, kan vi kende deres sandsynlighed.
Poisson fordeling udtryk
Ved en diskret tilfældig variabel X siger vi, at dens frekvens kan tilnærmes tilfredsstillende til en Poisson-fordeling, således at:
I modsætning til normalfordelingen afhænger Poisson-fordelingen kun af en parameter, mu (markeret med gul).
Mu rapporterer det forventede antal begivenheder, der vil forekomme i et bestemt tidsinterval. Når vi taler om noget "forventet", er vi nødt til at omdirigere det til at tænke over middelværdien. Derfor er mu middelværdien af begivenhedernes hyppighed.
Både middelværdien og variansen af denne fordeling er meget strengt positive.
Repræsentation
Givet en Poisson-fordeling med gennemsnit 2, er densitetssandsandsynlighedsfordelingen som følger:
Funktionen er kun defineret på heltalsværdier på x.
Ikke alle Poisson tætheds sandsynlighedsfordelinger vil se ens ud, selvom vi holder prøven den samme. Hvis vi ændrer middelværdien, dvs. parameteren, som funktionen afhænger af, ændres funktionen også.
Sandsynlighedsfunktion (pdf)
Denne funktion forstås som sandsynligheden for, at den tilfældige variabel X tager en bestemt værdi x. Det er den eksponentielle af det negative gennemsnit multipliceret med gennemsnittet hævet til observation og alt divideret med observationsfaktoriet.
For at kende sandsynligheden for hver observation skal vi som angivet erstatte alle observationer i funktionen. Med andre ord er x en vektor af dimension n, der indeholder alle observationer af den tilfældige variabel X. Middelværdien ville også være en vektor, men af en dimension, således at:
Når vi har de beregnede sandsynligheder, kan vi sammen med observationer tegne sandsynlighedsdensitetsfordelingen.
Historie
Navnet på denne distribution kommer fra dens skaber, Siméon-Denis Poisson (1781-1840), en fransk matematiker og filosof, der ønskede at modellere begivenhedernes hyppighed i et fast tidsinterval. Han deltog også i at perfektionere loven for et stort antal.
App
Poisson-fordelingen bruges inden for operationel risiko for at modellere situationer, hvor der opstår et operationelt tab. I markedsrisiko bruges Poisson-processen til ventetider mellem finansielle transaktioner i højfrekvente databaser. Der tages også højde for kreditrisiko for at modellere antallet af konkurser.
Eksempel
Vi antager, at vi er i vintersæsonen, og vi vil gerne stå på ski inden december. Sandsynligheden for, at skisportsstederne åbner inden december, er 5%. Af de 100 skisportssteder ønsker vi at vide sandsynligheden for, at det nærmeste skisportssted åbner inden december. Værdiansættelsen af dette skisportssted er 6 point.
De input, der er nødvendige for at beregne Poisson-densitets sandsynlighedsfunktionen, er datasættet og mu:
- Datasæt = 100 skisportssteder.
- Mu = 5% * 100 = 5 er det forventede antal skisportssteder givet datasættet.
Så den nærmeste station har 14,62% chance for, at den åbner inden december.
Frekvens sandsynlighed