Modulus af en vektor og Pythagoras sætning

Modulet på en vektor er længden af et segment orienteret i et rum, der bestemmes af to punkter og deres rækkefølge.

Med andre ord er modulet for en vektor længden mellem begyndelsen og slutningen af vektoren, det vil sige hvor pilen begynder og hvor den slutter.

Givet enhver to-dimensionel vektor:

Den information, som koordinaterne for vektoren giver os, det vil sige vx og vy, er dens længde for henholdsvis x-aksen og dens længde for y-aksen.

Så hvis vi kender koordinaterne, kan vi beregne vektorens modul.

Modulus af en vektor og Pythagoras sætning

Påminder ikke den forrige tegning dig om en geometrisk figur?

Præcis kan vi forestille os, at koordinatakserne ved siden af vektoren danner et rektangel med basis vx og højde vy. Vi kan dele dette rektangel i to symmetriske trekanter, det vil sige at de begge har samme base og højde.

Den blåfarvede trekant har en base på vx og en vyhøjde. Så ved at kende disse oplysninger kan vi kende dens hypotenus. Der er en meget berømt sætning kendt som Pythagoras sætning, der bruges til disse beregninger.

Demonstration

Vi ved, at den pythagoriske formel er som følger:

Hvor h er hypotenusen, er c et ben, og c er et andet ben.

I vores tilfælde ved vi, hvor meget vores ben er værd, med andre ord bunden og højden. Så vi kan tilslutte disse oplysninger til ligningen:

Vi fortsætter med at fjerne kvadratet af h ved at anvende kvadratroden:

Hvis vi siger, at vx = 3 og vy = 6:

Derfor, hvis v var en vektor med koordinater (3,6), ville vi vide, at dens modul er 6,7082. Præcis dets modul, fordi formlen for modulet for en hvilken som helst vektor v er:

Vi ser, at netop de oplysninger, som vi mangler i ligningen, falder sammen med hypotenusen. Med andre ord er længden af vektoren det, vi vil beregne, og hypotenusen er diagonalen i trekanten. Derfor kan vi konkludere, at brug af Pythagoras sætning til at beregne vektorens modul er en gyldig metode.

Så hvis vi har brug for at beregne en vektors modul, og vi ikke kan huske formlen, kan vi tænke på Pythagoras sætning og løse problemet.