Egenskaber for forventede værdier

Den forventede værdi af en tilfældig variabel er begrebet analogt med matematisk algebra, der overvejer det aritmetiske gennemsnit af det sæt observationer af den nævnte variabel.

Med andre ord er den forventede værdi af en tilfældig variabel den værdi, der vises hyppigst under gentagelse af et eksperiment mange gange.

Egenskaber for forventede værdier for en tilfældig variabel

Den forventede værdi af en tilfældig variabel har tre egenskaber, som vi udvikler nedenfor:

Ejendom 1

For enhver konstant g vil den forventede værdi af denne konstant blive udtrykt som E (g) og være den samme konstant g. Matematisk:

E (g) = g

Da g er en konstant, dvs. det afhænger ikke af nogen variabel, forbliver dens værdi den samme.

Eksempel

Hvad er den forventede værdi på 1? Med andre ord, hvilken værdi tildeler vi tallet 1?

E (1) =?

Præcis tildeler vi værdien 1 til tallet 1, og dens værdi ændres ikke, uanset hvor meget årene går, eller der opstår naturkatastrofer. Så vi har at gøre med en konstant variabel og derfor:

E (1) = 1 eller E (g) = g

De kan prøve andre numre.

Ejendom 2

For enhver konstant h og k vil den forventede værdi af linjen h · X + k være lig med konstanten h ganget med forventningen om den tilfældige variabel X plus konstanten k. Matematisk:

E (h X + k) = h E (X) + k

Se nøje, minder det dig ikke om en meget berømt straight? Præcis regressionslinjen.

Hvis vi udskifter:

E (hX + k) = Y

E (X) = X

k = B₀

h = B₁

Har:

Y = B₀ + B₁x

Når koefficienterne B estimeres₀ , B₁ , det vil sige B₀ , B₁ disse forbliver de samme for hele prøven. Så vi anvender ejendom 1:

E (B₀) = B₀

E (B₁) = B₁

Her finder vi også egenskaben af ​​upartiskhed, dvs. den forventede værdi af estimatoren er lig med dens befolkningsværdi.

Når vi vender tilbage til E (h · X + k) = h · E (X) + k, er det vigtigt at huske på, at Y er E (h · X + k), når man drager konklusioner fra regressionslinjerne. Med andre ord ville det være at sige, at når X stiger med en, stiger Y med halvt h enheder, da Y er den forventede værdi af linjen h · X + k.

Ejendom 3

Hvis H er en vektor af konstanter, og X er en vektor af tilfældige variabler, kan den forventede værdi udtrykkes som summen af ​​de forventede værdier.

H = (h₁ , h_2, , …, h_n)

X = (X₁ , X_2, ,…, X_n)

Hej₁x₁ + h₂x₂ +… + H_nx_n) = h₁· TIDLIGERE₁) + h₂· TIDLIGERE₂) +… + H_n· TIDLIGERE_n)

Udtrykt med summer:

Denne egenskab er meget nyttig til afledninger inden for matematisk statistik.