ARMA-modellen er en stationær autoregressiv model, hvor de uafhængige variabler følger stokastiske tendenser, og fejludtrykket er stationært.
Med andre ord inkorporerer ARMA-modellen autokorrelation og den glidende gennemsnitsmodel i sin regression.
Anbefalede artikler: tilfældig gangteori, konditioneret gennemsnit, autoregression.
Betydning af ARMA
ARMA-modellen, fra engelsk, AutoRegressivt glidende gennemsnit den er opdelt i to dele:
- Autoregressiv: Den afhængige variabel vender tilbage til sig selv i en periodet.
- Glidende gennemsnit: Tilbageslag er repræsenteret ved tilfældige processer.
AR-model
Matematisk
1. Vi starter fra AR (p) autoregressiv model:
Hvor:
Med andre ord følger fejludtrykket en stokastisk proces (tilfældig variabel).
2. Vi fastlægger følgende ligestilling:
4. Vi erstatter den tidligere ligestilling i AR (p) og opnår:
4. Vi definerer et nyt polynom, der afhænger af R:
Derefter,
Hvis vi ganger det nye polynom med Xt og vi videregiver alle parametre og regressorer til venstre for lige, vi får den oprindelige AR (p).
Fra den autoregressive model er vi tilbage med den sidste ligning:
Dette er den autoregressive models bidrag til ARMA-modellen.
Glidende gennemsnitsmodel
En glidende gennemsnitsmodel er en autoregression, hvor regressorerne er fejlbetingelserne for hver periodet.
Matematisk
1. Vi starter fra den autoregressive model AR (p), hvor regressorerne er fejludtrykket:
Ligesom den autoregressive model følger fejludtrykket en stokastisk proces (tilfældig variabel), således at:
Den glidende gennemsnitsmodel er altid stationær, dvs. de uafhængige variabler (forsinkede fejludtryk) er tilfældige variabler. Med andre ord er de foregående periodes fejltermer uafhængige af de aktuelle fejltermer og har den samme (identiske) sandsynlighedsfordeling med gennemsnit 0 og betinget varians.
2. Vi fastlægger følgende ligestilling:
3. Vi erstatter den tidligere ligestilling i AR (p) for fejludtrykket, og vi opnår:
4. Vi definerer et nyt polynom, der afhænger af E:
Vi tager en fælles faktor:
Fra den glidende gennemsnitsmodel har vi ligningen med punkt 4 tilbage:
ARMA-modellen (p, q)
Matematisk
Den generelle autoregressive tidsseriemodel med glidende gennemsnit pås autoregressive vilkår oghvad Vilkår for glidende gennemsnit udtrykkes som:
Ikke panikke! Kan vi forenkle noget?
Du kan altid forenkle tingene. Vi husker ligningerne, som vi har fremhævet før:
Autoregressiv model
Glidende gennemsnitsmodel
Så vi kan se, at ARMA-modellen simpelthen er kombinationen af den autoregressive model og den glidende gennemsnitsmodel (markeret med gult).