Den lineære transformation af matricer er lineære operationer gennem matricer, der ændrer den oprindelige dimension af en given vektor.
Med andre ord kan vi ændre dimensionen af en vektor ved at gange den med en hvilken som helst matrix.
Lineære transformationer er grundlaget for vektorerne og egenværdierne i en matrix, da de afhænger lineært af hinanden.
Anbefalede artikler: operationer med matricer, vektorer og egenværdier.
Matematisk
Vi definerer en matrixC en hvilken som helst af dimension 3 × 2 ganget med en vektor V af dimensionn = 2 sådan at V = (v1, v2).
Af hvilken dimension vil resultatvektoren være?
Vektoren, der er resultatet af matrixproduktetC3×2med vektorV2×1vil være en ny V'-vektor af dimension 3.
Denne ændring i vektordimensionen skyldes den lineære transformation gennem matrixen C.
Praktisk eksempel
Givet den firkantede matrixR med dimension 2 × 2 og vektorenV af dimension 2.
En lineær transformation af dimensionen af vektorenV det er:
hvor vektorens indledende dimension V var 2 × 1 og nu den endelige dimension af vektoren Du ser3 × 1. Denne ændring i dimension opnås ved at multiplicere matrixen R.
Kan disse lineære transformationer repræsenteres grafisk? Jamen selvfølgelig!
Vi repræsenterer resultatvektoren V 'i et plan.
Derefter:
V = (2,1)
V ’= (6,4)
Grafisk
Eigenvektorer ved hjælp af grafisk repræsentation
Hvordan kan vi bestemme, at en vektor er en egenvektor af en given matrix bare ved at se på grafen?
Vi definerer matrixenD af dimension 2 × 2:
Er vektorerne v1= (1,0) og v2= (2,4) egenvektorer af matrixen D?
Behandle
1. Lad os starte med den første vektor v1. Vi udfører den tidligere lineære transformation:
Så hvis vektoren v1 er egenvector af matrixen D, den resulterende vektor v1'Og vektor v1de burde høre til den samme linje.
Vi repræsenterer v1 = (1,0) og v1’ = (3,0).
Da begge v1som V1’Tilhører samme linje, v1 er en egenvektor af matricen D.
Matematisk er der en konstanth(egenværdi) sådan at:
2. Vi fortsætter med den anden vektor v2. Vi gentager den tidligere lineære transformation:
Så hvis vektoren v2 er egenvector af matrixen D, den resulterende vektor v2'Og vektoren v2 de skal høre til den samme linje (som grafen ovenfor).
Vi repræsenterer v2 = (2,4) og v2’ = (2,24).
Da v2 og V2”Tilhører ikke den samme linje, v2 er ikke en egenvektor af matrixen D.
Matematisk er der ingen konstanth(egenværdi) sådan at:
