Symmetrisk matrix - Hvad er det, definition og koncept

En symmetrisk matrix er en matrix af rækkefølge n med det samme antal rækker og søjler, hvor dens transponerede matrix er lig med den oprindelige matrix.

Med andre ord er en symmetrisk matrix en firkantet matrix og er identisk med matrixen efter at have byttet rækker mod kolonner og kolonner for rækker.

Krav

For at enhver matrix skal være en symmetrisk matrix, skal den opfylde følgende begrænsninger:

Givet en symmetrisk matrix P af ordre n,

• At være en firkantet matrix.

Antallet af rækker (n) skal være det samme som antallet af kolonner (m). Det vil sige, at matrixens rækkefølge skal være n givet at n = m.

• Den originale matrix skal være lig med dens transponeret matrix.

Demonstration:

Ejendomme

• Den sammenhængende matrix af en symmetrisk matrix er også en symmetrisk matrix.

Demonstration:

• Tilføjelse eller subtraktion af to symmetriske matricer resulterer i en anden symmetrisk matrix.

Demonstration:

Givet to symmetriske matricer P Y T i rækkefølge 3 opnår vi en anden symmetrisk matrix S fra summen.

Hvorfor kaldes det en symmetrisk matrix?

Symmetriens egenskab er givet af elementerne omkring hoveddiagonalen. Da en firkantet matrix er en symmetrisk matrix, vil den altid have det samme antal elementer over og under hoveddiagonalen. Disse elementer er de samme symmetrisk. Det vil sige, at hoveddiagonalen fungerer som et spejl.

Bevis for symmetri og skævhed i en matrix

Symmetrisk matrix

Brevet d repræsenterer elementerne i hoveddiagonalen. De andre bogstaver repræsenterer ethvert reelt tal. Vi kan se, at hoveddiagonalen fungerer som et spejl: den reflekterer elementerne på begge sider. Med andre ord, når elementerne på begge sider af diagonalen er symmetrisk lige, siger vi, at matrixen P er en symmetrisk matrix.

Ikke-symmetrisk matrix

Matrix x Det er ikke en symmetrisk matrix, da den ikke er en firkantet matrix, og dens transponerede matrix er forskellig fra den oprindelige matrix. Derudover har den heller ikke en hoveddiagonal.