Endelige sæt er dem, hvis kardinalitet eller antal elementer i det er lig med et naturligt tal.
Et endeligt sæt er med andre ord et, der har et antal elementer, der kan tælles. At være det modsatte af et uendeligt sæt, hvor elementerne er utallige.
En mere formel måde at udtrykke, at et sæt er endeligt, er at elementerne i det sæt, som vi vil kalde M, kan parres med elementerne i sættet (1, 2,…, n), som vi vil kalde N. Dette er en række heltal, hvor hvert element er lig med det forrige plus enheden.
Således kan elementerne i M og N parres en efter en (hvilket er kendt som en-til-en korrespondance) uden at udelade noget element i de to sæt.
Det siges også, at M og N er ækvipotente, dvs. for hvert element af M er der et element af N.
Desuden falder tallet n (det største element i sættet N) sammen med antallet af elementer i M, hvor n er kardinalen, kardinaliteten eller styrken af N, og dens betegnelse er kortet (N), | N | eller #N.
Endelige eksempler
Nogle eksempler på begrænsede sæt ville være følgende:
- Ulige heltal større end 13 og mindre end 29: (15, 17, 19, 21, 23, 25, 27)
- Jordens have: Atlanterhavet, Stillehavet, Indisk, Arktis, Antarktis
- Listen over de tyve studerende, der tilhører et klasseværelse.
Egenskaber ved endelige sæt
Blandt de vigtigste egenskaber ved begrænsede sæt er dem, der er eksponeret nedenfor:
- Foreningen af to eller flere endelige sæt resulterer i et endeligt sæt.
- Skæringspunktet (elementerne til fælles) for et endeligt sæt med et eller flere sæt er endeligt.
- Delsættet af et begrænset sæt er også endeligt.
- Delsættet C for et endeligt sæt M er kendetegnet ved at have et mindre antal elementer end M. Det vil sige, at: Hvis C ⊊ M og | M | = n, derefter | C | <n (symbolet ⊊ betyder, at C er en korrekt delmængde af M. Det vil sige, at alle elementerne i C er indeholdt i M, men der er mindst et element i M, der ikke er i C).
- Kraftsættet for et endeligt sæt M, som inkluderer alle de undergrupper, der kan dannes med elementerne i sættet M (inklusive det tomme sæt eller ∅), er endeligt og har 2n elementer, hvor n er antallet af elementer i M. For eksempel, hvis vi har:
(1, 3, 41)
Strømsættet ville være: (∅, (1,3), (1,41), (3,41), (1), (3), (41), (1,3,41))
Som vi kan se, har elsættet til et begrænset sæt af tre elementer otte (23) elementer.