Fraktal geometri er den gren af geometri, der studerer fraktaler. Dette er komplekse objekter med en struktur, der gentages, når vi observerer den i forskellige skalaer.
Fraktaler består med andre ord af dele, der ligner helheden og er uregelmæssige strukturer. Lad os tænke på et broccolihoved, som når vi deler det, er opdelt i flere mindre broccoli.
Fraktalgeometri blev født af behovet for en bedre tilnærmelse til virkeligheden, da plangeometri og rumgeometrien studerer figurer og kroppe, som vi meget næppe finder i naturen.
Overvej at bjerge ikke er kegler, og at selv pyramiderne i Egypten, hvis vi ser nærmere på dem, vil have visse uregelmæssigheder på deres overflader. Disse ufuldkommenheder kaldes med ruhedskvaliteten, og det er en egenskab, der tilføjer fraktal geometri til objekter, som ikke længere kun har omkreds, areal og volumen.
Oprindelse af fraktal geometri
Oprindelsen til fraktal geometri er banebrydende af matematikeren Benoit Mandelbrot såvel som hans største litterære værk: "Fractal Geometry of Nature", udgivet i 1982.
Ordet fraktal kommer fra det latinske ord "fractus", hvilket betyder brudt eller brækket, og blev opfundet af Mandelbrot i 1975.
Det er værd at nævne, at selvom Mandelbrot formaliserede studiet af fraktaløkonomi, var han ikke den første til at bemærke eksistensen af fraktaler i naturen. For eksempel, hvis vi ser på den velkendte japanske maler Katsushika Hokusai's arbejde, vil vi se dette koncept anvendes (og Mandelbrot selv nævnte det i et interview). For eksempel i maleriet "Den store bølge" observerer vi, hvordan der inde i bølgen er andre mindre bølger.
Kendetegn ved en fraktal
De vigtigste egenskaber ved en fraktal er følgende:
- Selvlignelighed: Det refererer til det, vi allerede har nævnt før. Hvis vi ser på en del af fraktalen i større skala (nærmere), vil den se ud som den hele genstand. Det vil sige, at delen ligner helheden, selvom dette ikke altid er nøjagtigt sandt. Lad os for eksempel forestille os en rombe, der består af mange små romber. Selvom størrelsen på disse romber varierer lidt, ville det være en fraktal.
- Fraktal dimension er ikke lig med den topologiske dimension: For at forklare den topologiske dimension, lad os forestille os, at vi har et plan opdelt i gitre, som et maske. Så jeg tegner en linje, der går gennem 2 net. Hvis jeg delte alle netnet i to, ville linjen gå igennem 4 net. Det vil sige, det ganges med 2, hvilket er lig med reduktionsfaktoren (2) hævet til 1 (2 = 21), der, der er redundansen værd, er antallet af linjens dimensioner. Hvis vi nu har en polygon, en todimensional figur, sker der noget lignende. For eksempel, hvis vi har en firkant, der strækker sig over fire gitre, og vi anvender en reduktionsfaktor på 2 igen, vil firkanten strække sig over 16 gitre. Antallet af gitre (4) multipliceres med 4, hvilket er 2 hævet til 2 (2 = 22), hvor eksponenten er antallet af dimensioner i kvadrat. Imidlertid er alt det ovenstående ikke sandt i fraktaler.
- De kan ikke skelnes på noget tidspunkt: Dette betyder, i matematiske termer, at afledningen af den repræsenterede funktion ikke kan beregnes. I visuelle termer betyder det, at grafen ikke er kontinuerlig, men har toppe, så det er ikke muligt at foretage afledningen.
Anvendelse af fraktal geometri
Fraktalgeometri kan anvendes i forskellige felter. For eksempel havde Lewis Fry Richardson i 1940 bemærket, at forskellige grænser mellem land og land ændrede sig afhængigt af målestørrelsen. Det vil sige, hvis vi måler en geografisk kontur, vil resultatet variere afhængigt af længden af linealen, der bruges. Dette fungerede som en reference for Mandelbrot i hans artikel fra 1967, der blev offentliggjort i tidsskriftet Science: "Hvor lang tid er Storbritanniens kyst?"
Det kan forklares, hvis vi tager i betragtning, at de geografiske områder er fraktaler, og som vi ser dem i større skala, ser vi flere uregelmæssigheder.
En anden anvendelse af fraktal geometri er analysen af seismiske bevægelser og bevægelser på aktiemarkedet.
Derudover må vi erkende, at fraktaler har tjent som inspiration for kunstnere som den førnævnte Hokusa, og vi har også tilfældet med Jackson Pollock.