Bøjningspunktet for en matematisk funktion er det punkt, hvor grafen, der repræsenterer den, ændrer sin konkavitet. Det vil sige, det går fra at være konkav til at være konveks, eller omvendt.
Bøjningspunktet er med andre ord det øjeblik, hvor funktionen ændrer tendens.
For at få en idé, lad os starte med at se på den i en grafisk repræsentation, omtrent:
Det skal bemærkes, at en funktion kan have mere end et bøjningspunkt eller slet ikke. For eksempel har en linje ikke et bøjningspunkt.
Lad os i den følgende graf se et eksempel på en funktion med mere end et bøjningspunkt:
I matematiske termer beregnes bøjningspunktet ved at indstille det andet afledte af funktionen lig med nul. Således løser vi roden (eller rødderne) til den ligning, og vi kalder det Xi.
Derefter erstatter vi Xi i det tredje afledte af funktionen. Hvis resultatet er anderledes end nul, står vi over for et bøjningspunkt.
Men hvis resultatet er nul, skal vi erstatte de på hinanden følgende derivater, indtil værdien af dette derivat, det være sig det tredje, fjerde eller femte, er forskelligt fra 0. Hvis derivatet er ulige, er det et bøjningspunkt, men hvis det endda er nej.
Vendepunkteksempel
Lad os derefter se på et eksempel.
Antag, at vi har følgende funktion:
y = 2x4+ 5x3+ 9x + 14
y ’= 8x3+ 15x2+9
y »= 24x2+ 30x = 0
24x = -30
Xi = -1,25
Derefter erstatter vi Xi i det tredje derivat:
y »’ = 48x
y »’ = 48x-1,25 = -60
Da resultatet er forskelligt fra nul, befinder vi os foran et bøjningspunkt, der ville være, når x er lig med -1,25 og y er lig med -2,1332, som vist i den følgende graf.
I dette observeres det, at funktionen har et bøjningspunkt:
Lad os nu se på et andet eksempel:
y = x4-54x2
y ’= 4x3-108x
y »= 12x2-108=0
x2=9
Xi = 3 og -3
Derefter erstatter vi de to rødder, der findes i det tredje derivat:
y »’ = 24x
y »’ = 24 × 3 = 72
y »’ = 24x-3 = -72
Da resultatet ikke er nul, har vi to bøjningspunkter ved (3.567) og (-3.567).
For at supplere informationen inviterer vi dig til at besøge bøjningsartiklen, hvor vi dækker dette koncept på en mere generel måde:
Definition af bøjning