Varians-kovariansmatrixen er en kvadratmatrix med dimension nxm, der samler afvigelserne i hoveddiagonalen og kovarianterne i elementerne uden for hoveddiagonalen.
Med andre ord er varians-kovariansmatrixen en matrix, der har det samme antal rækker og søjler og har variationerne fordelt på hoveddiagonalen og kovarianterne på elementerne uden for hoveddiagonalen.
KovariansMatrixrepræsentation
Varians-kovariansmatrixen udtrykkes normalt som
Selv om det ser ud til, at det er symbolet på summeringen, og at det ikke har nogen relation til varians-kovariansmatrixen, repræsenterer dette græske bogstav perfekt indholdet af denne matrix.
For at forstå det, lad os først se på dets udtryk:
At vide, at der er m kolonner, angiver ellipsen, at kolonnerne mellem anden og sidste kolonne er udeladt. Tilsvarende at vide, at der er n rækker, indikerer ellipsen, at rækkerne mellem anden og sidste række er udeladt.
I dette tilfælde bruger vi sigma til at repræsentere covarianterne og sigma i kvadrat for afvigelserne. Som et eksempel:
Hvilket græsk bogstav vises i alle elementerne i matricen? Sigmaen.
Så det er logisk, at en sigma også bruges til at definere varians-kovariansmatrixen.
Græsk brev
er hovedformen for
Så hvis vi husker, at varians-kovariansmatrixen udtrykkes som den store bogstav for sigma, vil det være lettere at huske dens definition.
Krav til, at det skal være en varians-kovariansmatrix
Kravene for, at en matrix skal være varianskovarians, er følgende:
- Firkantet matrix: samme antal rækker (n) som kolonner (m), derefter, n = m, og derfor kan dimensionen af denne matrix udtrykkes både nxm og nxn.
- I hoveddiagonal der er afvigelser:
- Fra hoveddiagonalen der er covariances:
App
Varians-kovariansmatrixen er meget populær i økonometri, da den hovedsagelig bruges i matrixberegningen af koefficienterne for lineær regression ved anvendelse af ordinære mindste kvadrater, blandt andre anvendelser.
I finansiering bruges det til at få et generelt billede af de finansielle aktiveres volatilitet.
Matematisk udtryk for varians og kovarians
Matematik udtrykkes som følger:
- Elementets kovarians n = 1 og m = 2
- Variationen af elementet n = 1 og m = 1
Både varians og kovarians kan korrigeres. Det vil sige, nævneren er n-1 i stedet for n. Dette skyldes frihedsgraderne og afhænger af, om vi taler om befolkning eller prøvevariationer og samvarianter.