Bayes 'sætning bruges til at beregne sandsynligheden for en begivenhed og have oplysninger på forhånd om den begivenhed.
Vi kan beregne sandsynligheden for en begivenhed A, idet vi også ved, at A opfylder en bestemt egenskab, der bestemmer dens sandsynlighed. Bayes 'sætning forstår sandsynligheden omvendt til den samlede sandsynlighedssætning. Den samlede sandsynligheds sætning slutter sig om en begivenhed B, ud fra resultaterne af begivenheder A. For hans del beregner Bayes sandsynligheden for A betinget af B.
Bayes 'sætning er blevet meget udspurgt. Hvilket hovedsageligt har været på grund af dets dårlige anvendelse. Da forudsætningen om uensartede og udtømmende begivenheder er opfyldt, er sætningen fuldstændig gyldig.
Bayes sætning formel
For at beregne sandsynligheden som defineret af Bayes i denne type begivenhed har vi brug for en formel. Formlen er matematisk defineret som:
Hvor B er den begivenhed, som vi har tidligere oplysninger om, og A (n) er de forskellige betingede begivenheder. I den del af tælleren har vi den betingede sandsynlighed og i den nederste del den samlede sandsynlighed. Under alle omstændigheder, selvom formlen virker lidt abstrakt, er den meget enkel. For at demonstrere dette bruger vi et eksempel, hvor vi i stedet for A (1), A (2) og A (3) direkte bruger A, B og C.
Bayes sætning eksempel
Et firma har en fabrik i USA, der har tre maskiner, A, B og C, der producerer beholdere til vandflasker. Maskine A er kendt for at producere 40% af den samlede mængde, Maskine B 30% og Maskine C 30%. Hver maskine er også kendt for at producere defekt emballage. På en sådan måde, at maskine A producerer 2% af defekte pakker af sin samlede produktion, maskine B 3% og maskine C 5%. Når det er sagt, opstår der to spørgsmål:
P (A) = 0,40 P (D / A) = 0,02
P (B) = 0,30 P (D / B) = 0,03
P (C) = 0,30 P (D / C) = 0,05
1. Hvis der er fremstillet en container af denne virksomheds fabrik i USA, hvad er sandsynligheden for, at den er defekt?
Den samlede sandsynlighed beregnes. Da vi ud fra de forskellige begivenheder beregner sandsynligheden for, at den er defekt.
P (D) = (P (A) x P (D / A)) + (P (B) x P (D / B)) + (P (C) x P (D / C)) = (0, 4 x 0,02) + (0,3 x 0,03) + (0,3 x 0,05) = 0,032
Udtrykt i procent vil vi sige, at sandsynligheden for, at en container fremstillet af dette selskabs fabrik i USA er mangelfuld, er 3,2%.
2. Hvis der fortsættes med det foregående spørgsmål, hvis en container er anskaffet, og den er defekt, hvad er sandsynligheden for, at den er fremstillet af maskine A? Og af maskine B? Og af maskine C?
Bayes 'sætning bruges her. Vi har forudgående oplysninger, dvs. vi ved, at emballagen er defekt. Når vi ved, at det er defekt, vil vi naturligvis vide, hvad der er sandsynligheden for, at det er produceret af en af maskinerne.
P (A / D) = (P (A) x P (D / A)) / P (D) = (0,40 x 0,02) / 0,032 = 0,25
P (B / D) = (P (B) x P (D / B)) / P (D) = (0,30 x 0,03) / 0,032 = 0,28
P (C / D) = (P (C) x P (D / C)) / P (D) = (0,30 x 0,05) / 0,032 = 0,47
At vide, at en container er defekt, er sandsynligheden for, at den er produceret af maskine A 25%, at den er produceret af maskine B 28%, og at den er produceret af maskine C, er 47%.