Matrixmultiplikation

Matrixmultiplikation består i at kombinere to eller flere matricer lineært ved at tilføje deres elementer afhængigt af deres placering inden for oprindelsesmatrixen under hensyntagen til faktorernes rækkefølge.

Med andre ord er multiplikationen af to matricer at samle matricerne i en enkelt matrix ved at multiplicere og tilføje elementerne i kildematricenes rækker og kolonner under hensyntagen til faktorernes rækkefølge.

Anbefalede artikler: operationer med matricer, kvadratmatrix.

Givet to matricer Z Y Y af n rækker og m kolonner:

Ejendomme

Resultatmatrixens dimension er kombinationen af matricernes dimension. Med andre ord vil resultatmatrixens dimension være kolonnerne i den første matrix og rækkerne i den anden matrix.

I dette tilfælde finder vi det Z_n (rækker af Z) er lig med Y_m(kolonner af Y) for at være i stand til at multiplicere dem. Så hvis de er ens, vil resultatmatricen være:

Eksempler

Vi multiplicerer matricer to efter to.

Vi multiplicerer matricerne to efter to for at bevare dimensionerne på de originale matricer og lette processen.

Matrixmultiplikation er ikke-kommutativ.

Ordning for kommutativ ejendom

Kommutativ egenskab repræsenterer den velkendte sætning: Faktorenes rækkefølge ændrer ikke resultatet.

Vi finder denne egenskab i almindelig tilføjelse og multiplikation, det vil sige når vi tilføjer og multiplicerer ethvert objekt, der ikke er en matrix.

I betragtning af ovenstående skema fortæller den kommutative egenskab, at hvis vi først multiplicerer den blå sol og derefter den gule sol, vil vi få det samme resultat (grøn sol), som om vi multiplicerer den gule sol først og derefter den blå sol.

Så hvis multiplikationen af matricer ikke respekterer kommutativ ejendom, betyder det, at rækkefølgen af faktorerne Ja påvirker resultatet. Med andre ord får vi ikke den grønne sol, hvis vi ændrer rækkefølgen af de gule og blå soler.

Behandle

Vi kan gange de tidligere matricer, hvis antallet af rækker i matricen Z svarer til antallet af kolonner i matricen Y. Nemlig Z_n = Y_m.

Når det er bestemt, at vi kan multiplicere matricerne, multiplicerer vi elementerne i hver række med hver kolonne og tilføjer dem på en sådan måde, at kun et tal forbliver på det punkt, hvor de tidligere blå ovaler falder sammen.

Først finder vi, hvor de blå ovaler falder sammen, og derefter foretager vi summen af multiplikationen af elementerne.

For det første element i resultatmatricen ser vi, at ovalerne falder sammen, hvor elementet z er₁₁.

For det sidste element i resultatmatricen ser vi, at ovalerne falder sammen i elementet og_nm.

Teoretisk eksempel

Givet to firkantede matricer D Y OG,

Multiplicer de tidligere matricer.

Vi starter med at multiplicere matrixens første række D med den første kolonne i matrixen OG. Derefter gør vi det samme, men holder rækken eller kolonnen i hver matrix afhængigt af om vi vil multiplicere nogle elementer eller andre. Vi gentager proceduren, indtil vi har udfyldt alle hullerne.