Taylor Series - Hvad er det, definition og koncept
Taylor-serien er en række kræfter, der strækker sig til uendelig, hvor hvert af tilføjelserne hæves til en magt, der er større end den foregående.
Hvert element i Taylor-serien svarer til det niende derivat af funktionen f, der evalueres i punkt a, mellem faktor (n!), Og alt dette, ganget med x-a hævet til magten n.
Formelt eller matematisk har Taylor-serien følgende form:
For bedre at forstå Taylor-serien skal vi huske på, at a er et punkt på en linje, der tangerer funktionen f. Linjen kan igen udtrykkes som en lineær funktion, hvis hældning er den samme hældning som funktionen f i punkt a.
Et andet aspekt at huske på er, at f er en differentierbar funktion n gange i punkt a. Hvis n er uendelig, er det en trinløs differentierbar funktion.
I et bestemt tilfælde, når a = 0, kaldes serien også McLaurin-serien.
Forskel mellem serier og Taylor polynom
Forskellen mellem serie og Taylor polynom er, at vi i det første tilfælde taler om en uendelig rækkefølge, mens det i det andet er en endelig serie.
Taylor polynom kan således defineres som en polynom tilnærmelse af en funktion n gange differentierbar på et specifikt punkt (a).
Eksempler på Taylor-serier
Nogle eksempler på Taylor-seriens variationer er:
- Eksponentiel funktion:
- Trigonometriske funktioner:
Taylor serie applikationer
Nogle anvendelser af Taylor-serien er:
- Grænseanalyse.
- Analyse af stationære punkter eller stolpunkter i funktioner.
- Anvendelse i L'Hopitals sætning (for at løse grænser).
- Integreret estimering.
- Skøn over konvergenser og afvigelser fra visse serier.
- Analyse af finansielle aktiver og produkter, når prisen udtrykkes som en ikke-lineær funktion.
