Taylor Series - Hvad er det, definition og koncept

Indholdsfortegnelse:

Anonim

Taylor-serien er en række kræfter, der strækker sig til uendelig, hvor hvert af tilføjelserne hæves til en magt, der er større end den foregående.

Hvert element i Taylor-serien svarer til det niende derivat af funktionen f, der evalueres i punkt a, mellem faktor (n!), Og alt dette, ganget med x-a hævet til magten n.

Formelt eller matematisk har Taylor-serien følgende form:

For bedre at forstå Taylor-serien skal vi huske på, at a er et punkt på en linje, der tangerer funktionen f. Linjen kan igen udtrykkes som en lineær funktion, hvis hældning er den samme hældning som funktionen f i punkt a.

Et andet aspekt at huske på er, at f er en differentierbar funktion n gange i punkt a. Hvis n er uendelig, er det en trinløs differentierbar funktion.

I et bestemt tilfælde, når a = 0, kaldes serien også McLaurin-serien.

Forskel mellem serier og Taylor polynom

Forskellen mellem serie og Taylor polynom er, at vi i det første tilfælde taler om en uendelig rækkefølge, mens det i det andet er en endelig serie.

Taylor polynom kan således defineres som en polynom tilnærmelse af en funktion n gange differentierbar på et specifikt punkt (a).

Eksempler på Taylor-serier

Nogle eksempler på Taylor-seriens variationer er:

  • Eksponentiel funktion:
  • Trigonometriske funktioner:

Taylor serie applikationer

Nogle anvendelser af Taylor-serien er:

  • Grænseanalyse.
  • Analyse af stationære punkter eller stolpunkter i funktioner.
  • Anvendelse i L'Hopitals sætning (for at løse grænser).
  • Integreret estimering.
  • Skøn over konvergenser og afvigelser fra visse serier.
  • Analyse af finansielle aktiver og produkter, når prisen udtrykkes som en ikke-lineær funktion.