Antisymmetrisk matrix - Hvad er det, definition og koncept

En antisymmetrisk matrix er en firkantet matrix, hvor elementerne uden for hoveddiagonalen er symmetrisk lige, men dem under hoveddiagonalen har et negativt tegn.

Med andre ord er en antisymmetrisk matrix en matrix, der har det samme antal rækker (n) og kolonner (m), og elementerne på begge sider af hoveddiagonalen er komplementære.

Da elementerne over og under hoveddiagonalen er forskudt, er elementerne på hoveddiagonalen nuller.

Anbefalet artikel: ikke-symmetrisk matrix og symmetrisk matrix.

Karakteristika for den antisymmetriske matrix

Karakteristika for en antisymmetrisk matrix er:

• Firkantet matrix.
• Symmetrisk matrix + negativt tegn (-) i elementerne under hoveddiagonalen.
• Elementer i hoveddiagonalen er nuller (0).

Antisymmetrisk matrix

Givet en firkantet matrix ES,

Vi kan se, hvordan de samme elementer vises på begge sider af hoveddiagonalen, men med det særlige, at elementerne under hoveddiagonalen har et negativt tegn foran. Også hoveddiagonalen består af nuller.

Den antisymmetriske matrix og spejle

På samme måde som den symmetriske matrix kan den antisymmetriske matrix også forstås gennem eksemplet med spejlet.

Hvis vi ser på os selv i spejlet og løfter vores højre arm, vil vi se, at personen i spejlet løfter deres venstre arm. Med andre ord supplerer spejlets bevægelse vores, og derfor vil summen af ​​begge resultere i nul.

Vi kan udtrykke ovenstående idé som følger og udlede:

(Ræk hånden op ret) - (Ræk hånden op venstre) = 0

(Ræk hånden op ret) = (Ræk hånden op venstre)

Hoveddiagonalen fungerer som et spejl, og vi ser modsatte elementer på begge sider af hoveddiagonalen. Den neutrale funktion (=) kortlægges til hoveddiagonalen.

Ejendom

• Den transponerede matrix af en antisymmetrisk matrix er lig med den antisymmetriske matrix ganget med (-1).

Med andre ord ville det være som at tilføje et negativt tegn foran den antisymmetriske matrix.

Matematisk,

Vi kan se, at vi med begge procedurer når frem til det samme resultat: at matrixen transponeres eller multipliceres med (-1) den antisymmetriske matrix.

Ikke-symmetrisk matrix vs Antisymmetrisk matrix vs symmetrisk matrix

Eksemplet på spejlet i tilfælde af den symmetriske matrix er nok til at det afspejler den samme bevægelse, det vil sige, hvis vi løfter en arm, kan vi se en hævet arm, men det er ikke nødvendigt at specificere, hvad det er. I tilfælde af den antisymmetriske matrix skal vi kontrollere, hvilken arm vi ser i spejlet og afgøre, om det er en antisymmetrisk matrix.

Hvis vi løfter en arm og i spejlet, ser vi det …

• Den samme arm er hævet fra personens synspunkt i spejlet, så er det en symmetrisk matrix.

• Den modsatte arm hæves fra personens synspunkt i spejlet, så er det en antisymmetrisk matrix.

• Hvis ingen arm hæves eller mere end en hæves, set fra personens synspunkt i spejlet, er det en ikke-symmetrisk matrix.