Cramér-Rao Cota - Hvad er det, definition og koncept

Cramér-Rao bound (CCR) er den mindste varians, som en estimator af en parameter kan nå, givet regelmæssighedsbetingelser.

Med andre ord ser vi efter den varians, der er tættest på denne nedre grænse for at finde den bedste estimator i henhold til egenskaberne af upartiskhed og effektivitet.

Det anbefales at læse estimatorernes egenskaber

Disse egenskaber bruges, når vi skal vælge en estimator for at udføre en økonometrisk analyse. Hvis vi ønsker, at vores resultater skal være afgørende, skal vi i det mindste kræve, at estimatoren er upartisk og at have den mindste mulige varians af alle de upartiske estimatorer (effektivitet).

Selvom vi tager højde for alle de upartiske estimatorer, kan det ske, at når vi ser efter minimumvariansestimatoren, er der en anden upartisk estimator, der har mindre varians.

For at ingen uvildig estimator med minimal varians undslipper os, fastlægger vi et minimum eller en nedre grænse, som variansen for den objektive estimator for en parameter ikke kan overstige.

Vi ser kun på de upartiske estimatorer, fordi de partiske estimatorer kan have afvigelser mindre end CCR.

Formulering

Vi definerer:

f (X; Θ): sandsynlighedsdensitetsfunktion.

E (·): matematisk håb.

I (Θ): Fisher-information om en parameter.

Repræsenterer "mængden af ​​information" om værdien af ​​parameteren indeholdt i en observation af den tilfældige variabel X.

Formel:

Ikke panikke! Hvad kan vi se ved første øjekast fra denne formel?

• Vi kan se, at det er en ikke-streng ulighed (≥) i stedet for en lighed (=). Dette skyldes, at vi i nogle tilfælde ikke finder (findes ikke) en upartisk estimator, der når CCR-bundet. Derfor siger vi, at vi leder efter variansen af ​​en upartisk estimator, der er så tæt på denne nedre grænse som muligt. Derudover fortæller CCR os, hvad estimatorens minimale varians vil være, under denne figur kan den ikke findes.
• Delen til højre (var (Θ ’) er variansen af ​​estimatet for vores parameter.
• Delen til venstre (1 / J (Θ)) er det uoverstigelige minimum af variansen.
• Hvis vi ser efter et (absolut) minimum for variansen af ​​estimatoren for Θ, er det logisk, at der vises partielle derivater (derivater med hensyn til Θ).
  • I økonomi anvendes delderivater under første og anden ordens betingelser for at optimere nyttefunktioner: Find henholdsvis de relative og absolutte maksimum og minimum.
  • CCR bruger det første delafledte af parameteren Θ på sandsynlighedsdensitetsfunktionen f (X; Θ)
  • For at lette beregningen bruges i nogle tilfælde den anden afledte og alternative Fisher-information til at opnå CCR.

Estimatorerne, der, hvis de er upartiske, har en varians svarende til CCR, vil derefter blive betragtet som de mest effektive. Tilsvarende vil de upartiske, hvis varians er tættere, blive betragtet som relativt mere effektive end de andre estimatorer (længere væk).