Gauss-Markov-sætningen er et sæt antagelser, som en OLS-estimator (Ordinary Least Squares) skal opfylde for at blive betragtet som ELIO (Optimal Linear Unbiased Estimator). OGhan Gauss-Markov sætning blev formuleret af Carl Friederich Gauss og Andrei Markov.
Carl Friederich Gauss og Andréi Márkov etablerede nogle antagelser, så en OLS-estimator kunne blive ELIO.
Hvis disse 5 antagelser er opfyldt, kan vi bekræfte, at estimatoren er den med den mindste varians (mest præcise) af alle de lineære og upartiske estimatorer. I tilfælde af at nogen af antagelserne fra de første tre mislykkes (Linearitet, Null betyder streng eksogenitet eller Ingen perfekt multikollinearitet), er OLS-estimatoren ikke længere upartisk. Hvis kun 4 eller 5 fejler (homoscedasticitet og ingen autokorrelation) er estimatoren stadig lineær og upartisk, men den er ikke længere den mest nøjagtige. Sammenfattende siger Gauss-Markov-sætningen, at:
- Under antagelser 1, 2 og 3 er OLS-estimatoren lineær og upartisk. Nu, ikke så længe de tre første antagelser er opfyldt, kan det sikres, at estimatoren er upartisk. For at estimatoren skal være konsistent, skal vi have en stor prøve, jo mere jo bedre.
- Under antagelser 1, 2, 3, 4 og 5 er OLS-estimatoren lineær, upartisk og optimal (ELIO).
Antagelser fra Gauss-Markov-sætningen
Specifikt er der 5 antagelser:
1. Lineær model i parametrene
Det er en ret fleksibel antagelse. Det giver mulighed for at bruge funktioner af variabler af interesse.
2. Null gennemsnit og streng eksogenitet
Det antyder, at gennemsnitsværdien af fejlen betinget af forklaringer er lig med den ubetingede forventede værdi og er lig med nul. Desuden kræver streng eksogenitet, at modelfejl ikke er korreleret med nogen observationer.
Null gennemsnit:
Streng eksogenitet:
Null gennemsnit og streng eksogenitet mislykkes, hvis:
- Modellen er dårligt specificeret (f.eks. Udeladelse af relevante variabler).
- Der er målefejl i variablerne (dataene er ikke gennemgået).
- I tidsserier mislykkes streng eksogenitet i forsinkede endogenitetsmodeller (selvom der kan eksistere samtidig eksogenitet) og i tilfælde, hvor der er feedbackeffekter.
I tværsnitsdata er det meget lettere at opnå antagelsen om eksogenitet end i tilfælde af tidsserier.
3. Ingen nøjagtig multikollinearitet
I prøven er ingen af de forklarende variabler konstant. Der er ingen nøjagtige lineære sammenhænge mellem forklarende variabler. Det udelukker ikke en (ikke perfekt) sammenhæng mellem variablerne. Ifølge Gauss og Markov, når en model har nøjagtig multikollinearitet, skyldes det normalt en analytikers fejl.
4. Homoscedasticitet
Variationen af fejlen og derfor af Y er uafhængig af de forklarende værdier og derudover variansen af den konstante fejl. Matematisk udtrykkes det som:
Her er en række data med homoscedastisk udseende.
5. Ingen autokorrelation
Fejlbetingelserne for to forskellige observationer, der er betinget af X, er ikke relaterede. Hvis prøven er tilfældig, vil der ikke være nogen autokorrelation.
Hvor jeg skal have en anden værdi end h. Hvis prøven er tilfældig, vil dataene og observationsfejlene "i" og "h" være uafhængige af ethvert par observationer "i" og "h".