Taylor polynom - Hvad er det, definition og koncept
Taylor polynomet er en polynomial tilnærmelse af en funktionn gange afledt på et bestemt punkt.
Med andre ord er Taylor polynomet en endelig sum af lokale derivater evalueret på et specifikt punkt.
Matematisk
Vi definerer:
f (x): funktion af x.
f (x0): funktion afxpå et bestemt punkt x0. Formelt er der skrevet:
F(n)(x):n-te afledte af funktionen f (x).
Ansøgninger
Taylor-ekspansionen anvendes generelt på finansielle aktiver og produkter, hvis pris udtrykkes som en ikke-lineær funktion. For eksempel er prisen på en kortfristet gældssikkerhed en ikke-lineær funktion, der afhænger af renten. Et andet eksempel ville være muligheder, hvor både risikofaktorer og rentabilitet er ikke-lineære funktioner. Beregningen af varigheden af en obligation er et Taylor-polynom af første grad.
Taylor polynomisk eksempel
Vi ønsker at finde den anden rækkefølge af Taylor-tilnærmelsen af funktionen f (x) ved et punkt x0=1.
1. Vi fremstiller de relevante derivater af funktionen f (x).
I dette tilfælde beder de os op til anden rækkefølge, så vi laver de første og anden afledte af funktionen f (x):
- Første afledte:
- Andet afledt:
2. Vi erstatter x0= 1 i f (x), f '(x) og f' '(x):
3. Når vi først har værdien af derivaterne ved punktet x0= 1, vi erstatter det i Taylor-tilnærmelsen:
Vi retter polynomet lidt:
Kontrol af værdier
Taylor-tilnærmelsen vil være tilstrækkelig, jo tættere på x0 være værdierne. For at kontrollere dette erstatter vi værdier tæt på x0 både i den oprindelige funktion og i Taylor-tilnærmelsen ovenfor:
Når x0=1
Oprindelig funktion:
Taylor tilnærmelse:
Når x0=1,05
Oprindelig funktion:
Taylor tilnærmelse:
Når x0=1,10
Oprindelig funktion:
Taylor tilnærmelse:
I det første tilfælde når x0= 1, vi ser, at både den oprindelige funktion og Taylor-tilnærmelsen giver os det samme resultat. Dette skyldes sammensætningen af Taylor-polynomet, som vi har oprettet ved hjælp af de lokale derivater. Disse derivater er blevet evalueret på et specifikt punkt, x0= 1 for at opnå en værdi og oprette polynomet. Så jo længere væk fra det særlige punkt, x0= 1, jo mindre passende er tilnærmelsen for den oprindelige ikke-lineære funktion. I de tilfælde, hvor x0= 1,05 og x0= 1,10 der er en signifikant forskel mellem resultatet af den oprindelige funktion og Taylor-tilnærmelsen.
Men … forskellen er meget lille, ikke?
Taylor polynomial repræsentation
Hvis vi udvider ekstremerne (hvor tilnærmelsen bevæger sig væk fra x0=1):
Ved første øjekast kan det virke ubetydeligt, men når vi arbejder på grafen og foretager tilnærmelser, er det meget vigtigt at tage mindst de første fire decimaler i betragtning. Grundlaget for tilnærmelserne er præcision.
