En ikke-symmetrisk matrix er en ikke-kvadratisk matrix, hvor elementerne i den transponerede matrix er i forskellige positioner end elementerne i den oprindelige matrix.
Med andre ord er den ikke-symmetriske matrix en matrix, hvor antallet af rækker (n) er forskelligt fra antallet af kolonner (m), og transponeringen af matricen er forskellig fra den oprindelige matrix.
Det er vigtigt ikke at forveksle ikke-symmetriske matricer med antisymmetriske matricer, da de er meget forskellige begreber og henviser til forskellige elementer i matrixen.
For at en matrix skal være symmetrisk, skal den være en firkantet matrix, og den skal være lig med dens transponerede matrix. Med andre ord, at antallet af rækker (n) er lig med antallet af kolonner (m), og at elementerne i matricen ikke ændres, når rækkerne er blevet ændret af kolonnerne.
Matematisk betyder begrebet symmetri, at anvendelsen af transponeringsoperationen ændrer matrixens elementer ikke.
Den symmetriske matrix og spejle
Vi vil bedre forstå begrebet ikke-symmetrisk matrix, hvis vi tænker på effekten, som et spejl producerer.
Hvis vi ser i spejlet, vil vi se vores ansigt reflekteres; hvis vi løfter en hånd, vil en hånd også stige i spejlet. På samme måde som hvis vi laver en gestus, vises den samme reflekterede gestus.
Nå, det samme sker med hoveddiagonalen i en symmetrisk matrix. Elementer under eller over hoveddiagonalen vil være de samme. Det vil sige, at hoveddiagonalen for en symmetrisk matrix fungerer som et spejl af elementerne omkring den.
Givet en symmetrisk matrix S,
Matrix S transponeret ville have følgende form:
For mere information om dets matematiske egenskaber, se artiklen om symmetrisk matrix.
Den ikke-symmetriske matrix og spejle
I tilfælde af den ikke-symmetriske matrix er det som om spejlet blev brudt.
Og når et spejl er brudt, reflekterer det ikke godt elementerne foran det. Vi kan løfte højre hånd og se, at fire hænder løftes eller ingen løftes.
Så ved anvendelse af den samme logik handler den ikke-symmetriske matrix om ikke at have de samme elementer over eller under hoveddiagonalen, og også at de ikke er ens.
Sådan at:
I denne matrix kan vi ikke finde hoveddiagonalen, og der er derfor ingen symmetri i antallet af elementer. Desuden, hvis vi transponerer den tidligere matrix, vil vi se, at den ikke bevarer sin oprindelige tilstand.
Matrix NS transponeret ville have følgende form:
Genoptag
Når vi støder på begrebet en ikke-symmetrisk matrix, behøver vi kun tænke på den symmetriske matrix og sætte en negation foran dens egenskaber. Det vil sige, at en ikke-symmetrisk matrix vil være sådan, at den opfylder:
- Matrix ikke firkant.
- Transponeret matrix ikke svarer til den oprindelige matrix.
Det kan synes let at huske, hvad en ikke-symmetrisk matrix er, men når vi arbejder med antisymmetriske matricer, forveksler vi nogle gange begreberne.