Sarrus-regel - Hvad er det, definition og koncept

Sarrus's regel er en metode, der giver dig mulighed for hurtigt at beregne determinanten for en firkantet matrix med dimension 3 × 3 eller større.

Med andre ord består Sarrus's regel af at tegne to sæt med to modsatte trekanter ved hjælp af elementerne i matrixen. Det første sæt vil være 2 trekanter, der krydser hoveddiagonalen, og det andet sæt vil være 2 trekanter, der krydser den sekundære diagonal.

Vi definerer:

DP_T1: Første trekant, der krydser matrixens hoveddiagonal (DP).

DP_T2: Anden trekant, der krydser matrixens hoveddiagonal (DP).

DS_T1: Første trekant, der krydser matrixens sekundære diagonal (DS).

DS_T2: Anden trekant, der krydser matrixens sekundære diagonal (DS).

Behandle

Matematisk definerer vi matrixenZ_3×3Hvad:

1. Vi tegner hoveddiagonalen (DP) over matrixenZ_3×3:

DP = (z₁₁, z₂₂, z₃₃).

2. Vi tegner det første sæt trekanter, der krydser hoveddiagonalen:

• Første trekant (markeret med rødt) (T1):

DP_T1 = (z₂₁, z₃₂, z₁₃).

• Anden trekant (markeret med hvidt) (T2):

DP_T2 = (z₁₂, z₂₃, z₃₁).

Denne anden trekant behøver ikke at blive markeret, da den er tegnet som det modsatte eller komplementær til den første.

3. Multiplikation af elementerne i hoveddiagonalen, den første trekant og den anden.

• DP = z₁₁ Z₂₂ Z₃₃
• T1 = z₂₁ Z₃₂ Z₁₃
• T2 = z₁₂ Z₂₃ Z₃₁

Når vi er ganget, tilføjer vi dem:

• DP + T1 + T2 = (z₁₁ Z₂₂ Z₃₃) + (z₂₁ Z₃₂ Z₁₃) + (z₁₂ Z₂₃ Z₃₁)

4. Vi tegner den sekundære diagonal (DS) over matrixenZ_3×3:

DS = (z₃₁, z₂₂, z₁₃).

5. Vi tegner det første sæt trekanter, der krydser hoveddiagonalen:

• Første trekant (markeret med lyserødt) (T1):

DP_T1 = (z₁₁, z₃₂, z₂₃).

• Anden trekant (markeret med hvidt) (T2):

DP_T2 = (z₂₁, z₁₂, z₃₃).

Denne anden trekant behøver ikke at blive markeret, da den tegnes som det modsatte eller komplementær til den første.

6. Multiplikation af elementerne i den sekundære diagonal, den første trekant og den anden:

• DS = z₃₁ Z₂₂Z₁₃
• T1 = z₁₁Z₃₂Z₂₃
• T2 = z₂₁Z₁₂Z₃₃

Når vi er ganget, trækker vi dem:

• - DS - T1 - T2 = - (z₃₁ Z₂₂Z₁₃) - (z₁₁Z₃₂Z₂₃) - (z₂₁Z₁₂Z₃₃)

7. Når vi har de to trekanter, der krydser hoveddiagonalen og de to trekanter, der krydser den sekundære diagonale, slutter vi os til begge resultater og opnår matrixens determinantZ_3×3.

Determinant of Z_3×3 = |Z_3×3| = DP + T1 + T2- DS - T1 - T2 = (z₁₁ Z₂₂ Z₃₃) + (z₂₁Z₃₂ Z₁₃) + (z₁₂ Z₂₃ Z₃₁) - (z₃₁ Z₂₂Z₁₃) - (z₁₁Z₃₂Z₂₃) - (z₂₁Z₁₂Z₃₃)

Eksempel på Sarrus-regel

Find determinanten for matrixenTIL_3×3: