Eigenvektorer er vektorer ganget med en egenværdi i en matrixs lineære transformationer. Egenværdierne er konstanter, der multiplicerer egenvektorerne i en matrixs lineære transformationer.
Med andre ord oversætter egenvektorerne informationen fra den oprindelige matrix til multiplikation af værdier og en konstant. Egenværdierne er denne konstant, der multiplicerer egenvektorerne og deltager i den lineære transformation af den originale matrix.
Selvom navnet på spansk er meget beskrivende, kaldes egenvektorerne på engelsk egenvektorer og egenværdierne, egenværdier.
Anbefalede artikler: matrixtypologier, invers matrix, determinant for en matrix.
Egne vektorer
Egenvektorerne er sæt af elementer, der ved at multiplicere enhver konstant er ækvivalente med multiplikationen af den oprindelige matrix og sæt af elementer.
Matematisk en egenvektorV= (v1,…, Vn) af en firkantet matrixQ er en hvilken som helst vektorV som tilfredsstiller følgende udtryk for enhver konstanth:
QV = hV
Egne værdier
Den konstante h er egenværdien, der hører til egenvektoren V.
Egenværdierne er de virkelige rødder (rødder, der har reelle tal som en løsning), som vi finder gennem den karakteristiske ligning.
Egenskaber for egenværdier
- Hver egenværdi har uendelige egenvektorer, da der er uendelige reelle tal, der kan være en del af hver egenvektor.
- De er skalarer, de kan være komplekse tal (ikke reelle) og de kan være identiske (mere end en lige egenværdi).
- Der er lige så mange egenværdier som antallet af rækker (m) eller kolonner (n) har den originale matrix.
Vektorer og egenværdier
Der er et lineært afhængighedsforhold mellem vektorer og egenværdier, da egenværdierne multiplicerer egenvektorerne.
Matematisk
Hvis V er en egenvektor af matricenZ Y h er matrixens egenværdi Z, derefterhV er en lineær kombination mellem vektorer og egenværdier.
Karakteristisk funktion
Den karakteristiske funktion bruges til at finde en matrixs egenværdierZ firkant.
Matematisk
(Z - hl) V = 0
Hvor ZYh er defineret ovenfor ogjeg er identitetsmatrixen.
Vilkår
For at finde vektorer og egenværdier for en matrix skal den være opfyldt:
- Matrix Z firkant: antallet af rækker (m) er det samme som antallet af kolonner (n).
- Matrix Z ægte. De fleste matricer, der anvendes i finansiering, har reelle rødder. Hvilken fordel er der ved at bruge ægte rødder? Nå, matrixens egenværdier bliver aldrig komplekse tal, og det, venner, løser vores liv meget.
- Matrix (Z- Hej) ikke inverterbar: determinant = 0. Denne tilstand hjælper os med altid at finde andre egenvektorer end nul. Hvis vi fandt egenvektorer lig med 0, ville multiplikationen mellem værdier og egenvektorer være nul.
Praktisk eksempel
Vi antager, at vi ønsker at finde vektorerne og egenværdierne for aZ 2 × 2 dimension matrix:
1. Vi erstatter matrixen Z Yjeg i den karakteristiske ligning:
2. Vi løser faktorerne:
3. Vi multiplicerer elementerne, som om vi ledte efter matrixens determinant.
4. Løsningen på denne kvadratiske ligning er h = 2 og h = 5. To egenværdier, fordi antallet af rækker eller kolonner i matrixen Z er 2. Så vi har fundet matrixens egenværdier Z som igen gør det afgørende 0.
5. For at finde egenvektorerne skal vi løse:
6. For eksempel (v1, v2) = (1,1) for h = 2 og (v1, v2) = (- 1,2) for h = 5:
